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DEVOIR - Mathématiques et Physique - Exercice 1

2 h
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Il s'agit de montrer comment les mathématiques viennent en aide au physicien dans sa modélisation et sa compréhension d'une situation physique. Cet exercice est à mettre en corrélation avec votre cours d'électrostatique.

L'énergie potentielle de constitution d'une répartition de charges électriques Epc\mathcal{E}_{pc} est le travail effectué par un opérateur extérieur pour amener, depuis "l'infini" et de façon réversible, des charges électriques dans une région de l'espace initialement vide à leur positions (fixes) étudiées, appelée configuration. Il arrive parfois que cette énergie potentielle de constitution soit appelée "énergie d'interaction mutuelle".
Pour une charge électrique unique qiq_i cette énergie est nulle puisque le milieu, initialement vide de charges, n'exerce aucune influence (force) sur cette charge qiq_i. En revanche lorsque des charges électriques sont déjà présentes dans la région de l'espace considérées, ces dernières exerces un champs électrostatiques qui interagi avec les charges en mouvement qui arrivent dans la région considérée. On montre alors que L'énergie potentielle de constitution, entre nn charges électrostatiques, prend la forme suivante :
Epc=12∑i=1i=nqiVi    (n∈N⋆)\mathcal{E}_{pc} = \dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^{i=n} q_i \mathcal{V}_i \,\,\,\, \left(n \in \mathbb{N}^\star \right)
Dans cette relation, Vi\mathcal{V}_i représente le potentiel électrostatique que subit la charge qiq_i crée par les n−1n-1 autres charges de la configuration. Le facteur 12\dfrac{1}{2} provenant de la réciprocité de l'interaction électrostatique entre deux éléments constitutifs de la configuration.

Question 1
Parie 1 : Configuration circulaire

On considère une distribution de charges électrostatiques constituée :
- de n∈N∗n\in \mathbb{N}^* électrons régulièrement espacés sur un cercle de centre OO et de rayon aa ;
- et d'un proton situé, lui, au centre de ce cercle. On notera par e>0e>0 la charge électrique caractéristique du proton.
Faire un schéma de la configuration étudiée.

Correction
On a le schéma suivant :
Question 2

Démontrer que l'énergie potentielle de constitution entre le proton est les nn électrons périphériques, qui est notée Epcp/e\mathcal{E}_{pc}^{p/e}, est donnée par l'expression :
Epcp/e=−ne28πε0a\mathcal{E}_{pc}^{p/e} = - \dfrac{n e^2}{8\pi \varepsilon_0 a}

Correction
L'énergie potentielle de constitution entre le proton est les nn électrons périphériques Epcp/e\mathcal{E}_{pc}^{p/e} est donnée par l'expression :
Epcp/e=12eVproton\mathcal{E}_{pc}^{p/e} = \dfrac{1}{2} e \mathcal{V}_{proton}
Or Vproton\mathcal{V}_{proton} est engendré par les nn électrons périphériques, tous, distants du proton de la même distance aa. Ce qui nous permet d'écrire que :
Vproton=n×−e4πε0a    ⟺    Vproton=−ne4πε0a\mathcal{V}_{proton} = n \times \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0 a} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \mathcal{V}_{proton} = - \dfrac{ne}{4 \pi \varepsilon_0 a}
Ce qui implique que :
Epcp/e=12e×(−ne4πε0a)    ⟺    Epcp/e=−ne28πε0a\mathcal{E}_{pc}^{p/e} = \dfrac{1}{2} e \times \left( - \dfrac{ne}{4 \pi \varepsilon_0 a} \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \mathcal{E}_{pc}^{p/e} = - \dfrac{n e^2}{8\pi \varepsilon_0 a}
Question 3

On considère l'électron numéro ii du cercle chargé. Déterminer l'expression du potentiel électrique Vi\mathcal{V}_i ressenti par cet électron numéro ii de la part des n−1n-1 autres électrons du cercle et\textbf{et} du proton central. On notera par rkr_k la distance qui sépare cet iieˋmei^{i\grave{e}me} électron du kieˋmek^{i\grave{e}me} autre sur le cercle (k∈N∗/{i})(k\in \mathbb{N}^*/\{i\}).

Correction
On a, ∀k∈N∗/{i}\forall k \in \mathbb{N}^*/\{i\}, l'expression suivante :
Vi=Vproton+∑k(≠i)=1n−1Vk\mathcal{V}_i = \mathcal{V}_{proton} + \sum_{k(\neq i)=1}^{n-1} \mathcal{V}_k
Soit :
Vi=e4πε0a+∑k(≠i)=1n−1−e4πε0rik    ⟺    Vi=e4πε0a−e4πε0∑k(≠i)=1n−11rik\mathcal{V}_i = \dfrac{e}{4 \pi \varepsilon_0 a} + \sum_{k(\neq i)=1}^{n-1} \dfrac{-e}{4 \pi \varepsilon_0 r_{ik}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\mathcal{V}_i = \dfrac{e}{4 \pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{e}{4 \pi \varepsilon_0}\sum_{k(\neq i)=1}^{n-1} \dfrac{1}{r_{ik}}
Dans cette relation rikr_{ik} est la distance qui sépare l'électron numéro kk de l'électron numéro ii considéré. D'après le sujet, on doit poser rik≡rkr_{ik} \equiv r_k. D'où :
Vi=e4πε0a−e4πε0∑k(≠i)=1n−11rk\mathcal{V}_i = \dfrac{e}{4 \pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{e}{4 \pi \varepsilon_0}\sum_{k(\neq i)=1}^{n-1} \dfrac{1}{r_{k}}
Question 4

Démontrer que, ∀k∈N∗/{i}\forall k \in \mathbb{N}^*/\{i\}, on a : rk=2asin⁡(kπn)r_k = 2a \sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) .

Correction
D'après le schéma initial, l'électron numéro ii considéré est séparé de l'électron numéro kk d'un angle αik\alpha_{ik}. Et on peut écrire que :
rk=rik=2asin⁡(αik)r_k = r_{ik} = 2a \sin(\alpha_{ik})
Avec :
αik=k×12×2πn=kπn\alpha_{ik} = k \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2\pi}{n} = \dfrac{k\pi}{n}
Ainsi :
rk=2asin⁡(kπn)r_k = 2a \sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right)
Question 5

Déduire de l'ensemble des résultats précédent que l'énergie potentielle de constitution totale de la distribution électrostatique considérée Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} est donnée par l'expression :
Epctotale=ne216πε0a[(∑k=1k=n−11sin⁡(kπn))−4]\mathcal{E}_{pc}^{totale} = \dfrac{n e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \left( \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \right) - 4 \right]

Correction
De ce qui précède, le potentiel électrique ressenti par l'électron numéro ii de la part de l'électron numéro kk du cercle est :
Vi=e4πε0a−e8πε0a∑k(≠i)=1n−11sin⁡(kπn)\mathcal{V}_i = \dfrac{e}{4 \pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{e}{8 \pi \varepsilon_0 a}\sum_{k(\neq i)=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) }
Ainsi, l'énergie de constitution totale Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} de la distribution étudiée est la somme de Epcp/e\mathcal{E}_{pc}^{p/e} avec l'énergie de constitution de la somme de TOUS\textbf{TOUS} les électrons numéro ii sur le cercle périphérique. On a alors :
Epctotale=Epcp/e+∑i=1n12(−e)Vi    ⟺    Epctotale=Epcp/e−e2∑i=1nVi\mathcal{E}_{pc}^{totale} = \mathcal{E}_{pc}^{p/e} + \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{2} (-e) \mathcal{V}_i\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \mathcal{E}_{pc}^{totale} = \mathcal{E}_{pc}^{p/e} - \dfrac{e}{2} \sum_{i=1}^{n} \mathcal{V}_i
Ce qui nous donne :
Epctotale=−ne28πε0a−e2∑i=1nVi\mathcal{E}_{pc}^{totale} = - \dfrac{n e^2}{8\pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{e}{2} \sum_{i=1}^{n} \mathcal{V}_i
En remarquant que la configuration électronique est, géométriquement, entièrement symétrique par rapport à la position du proton central, on peut écrire que :
∑i=1nVi=nVi    ⟺    ∑i=1nVi=ne4πε0a−ne8πε0a∑k(≠i)=1n−11sin⁡(kπn)\sum_{i=1}^{n} \mathcal{V}_i = n \mathcal{V}_i \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sum_{i=1}^{n} \mathcal{V}_i = \dfrac{ne}{4 \pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{ne}{8 \pi \varepsilon_0 a}\sum_{k(\neq i)=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) }
A ce stade, la sommation sur l'ensemble de TOUS\textbf{TOUS} les électrons ii du cercle périphérique implique, que la précision (≠i)(\neq i) n'est plus nécessaire. On écrire donc :
∑i=1nVi=ne4πε0a−ne8πε0a∑k=1n−11sin⁡(kπn)\sum_{i=1}^{n} \mathcal{V}_i = \dfrac{ne}{4 \pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{ne}{8 \pi \varepsilon_0 a} \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) }
Donc l'énergie de constitution totale Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} de la distribution étudiée prend la forme :
Epctotale=−ne28πε0a−ne28πε0a+ne216πε0a∑k=1n−11sin⁡(kπn)\mathcal{E}_{pc}^{totale} = - \dfrac{n e^2}{8\pi \varepsilon_0 a} - \dfrac{ne^2}{8 \pi \varepsilon_0 a} + \dfrac{ne^2}{16 \pi \varepsilon_0 a} \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) }
Soit :
Epctotale=−2ne28πε0a+ne216πε0a∑k=1n−11sin⁡(kπn)\mathcal{E}_{pc}^{totale} = - \dfrac{2n e^2}{8\pi \varepsilon_0 a} + \dfrac{ne^2}{16 \pi \varepsilon_0 a} \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) }
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
Epctotale=−4ne216πε0a+ne216πε0a∑k=1n−11sin⁡(kπn)\mathcal{E}_{pc}^{totale} = - \dfrac{4n e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} + \dfrac{ne^2}{16 \pi \varepsilon_0 a} \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) }
En factorisant par le terme ne216πε0a\dfrac{n e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} , on obtient alors :
Epctotale=ne216πε0a[−4+∑k=1n−11sin⁡(kπn)]\mathcal{E}_{pc}^{totale} = \dfrac{n e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ - 4 + \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n} \right) } \right]
On en déduit alors que l'énergie potentielle de constitution totale de la distribution électrostatique considérée Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} est donnée par l'expression :
Epctotale=ne216πε0a[(∑k=1k=n−11sin⁡(kπn))−4]\mathcal{E}_{pc}^{totale} = \dfrac{n e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \left( \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \right) - 4\right]
Question 6

On note par SnS_n la somme partielle suivante :
Sn=∑k=1k=n−11sin⁡(kπn)S_n = \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)}
Démontrer que la suite (Sn)∀n⩾2(S_n)_{\forall n \geqslant 2} est croissante.

Correction
On a :
1⩽k⩽n−1   ⟺   πn⩽kπn⩽n−1nπ1 \leqslant k \leqslant n-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\pi}{n} \leqslant \dfrac{k\pi}{n} \leqslant \dfrac{n-1}{n} \pi
Comme n⩾2n \geqslant 2, peut écrire que :
0<kπn<π0 < \dfrac{k\pi}{n} < \pi
Ce qui implique que, ∀n⩾2\forall n \geqslant 2, on a :
sin⁡(kπn)>0    ⟺    1sin⁡(kπn)>0\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) > 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} > 0
Or, la somme de terme positifs est nécessairement croissante, donc la suite (Sn)∀n⩾2(S_n)_{\forall n \geqslant 2} est croissante.
Question 7

Conclure sur le sens de variation de Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale}.

Correction
De la question précédente, on en déduit que l'énergie Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} est croissante avec nn ; car on additionne de plus en plus de termes positifs.
Question 8

Calculer la valeur exacte de Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} pour n=2n=2 et n=3n=3.

Correction
On a :
∙  \bullet \,\, Si n = 2:\textbf{Si \textit{n} = 2} :
On obtient :
Epctotale(n=2)=2e216πε0a[(∑k=1k=2−11sin⁡(kπ2))−4]=2e216πε0a[1sin⁡(π2)−4]\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 2) = \dfrac{2 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \left( \sum_{k=1}^{k = 2-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{2}\right)} \right) - 4 \right] = \dfrac{2 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{\pi}{2}\right)} - 4 \right]
Soit :
Epctotale(n=2)=2e216πε0a[11−4]\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 2) = \dfrac{2 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{1}{1} - 4 \right]
Donc :
Epctotale(n=2)=−6e216πε0a    ⟺    Epctotale(n=2)=−3e28πε0a<0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 2) = \dfrac{- 6 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 2) = \dfrac{- 3 e^2}{8\pi \varepsilon_0 a} <0
∙  \bullet \,\, Si n = 3:\textbf{Si \textit{n} = 3} :
On obtient :
Epctotale(n=3)=3e216πε0a[(∑k=1k=3−11sin⁡(kπ3))−4]=3e216πε0a[1sin⁡(π3)+1sin⁡(2π3)−4]\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 3) = \dfrac{3 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \left( \sum_{k=1}^{k = 3-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{3}\right)} \right) - 4 \right] = \dfrac{3 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{1}{ \sin \left( \dfrac{\pi}{3}\right)} + \dfrac{1}{ \sin \left( \dfrac{2\pi}{3}\right)} - 4 \right]
Soit :
Epctotale(n=3)=3e216πε0a[132+132−4]=3e216πε0a[43−4]\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 3) = \dfrac{3 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} + \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} - 4 \right] = \dfrac{3 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{4}{\sqrt{3}} - 4 \right]
Soit encore :
Epctotale(n=3)=12e216πε0a[13−1]\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 3) = \dfrac{12 e^2}{16\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right]
Donc :
Epctotale(n=3)=3e24πε0a[13−1]<0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 3) = \dfrac{3 e^2}{4\pi \varepsilon_0 a} \left[ \dfrac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right] <0
Question 9

Étudier le signe de Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale}. En vous souvenant que L'énergie potentielle de constitution d'une répartition de charges électriques Epc\mathcal{E}_{pc} est le travail effectué par un opérateur extérieur, quelle(s) conclusion(s) pouvez-vous faire sur la stabilité de la configuration électrostatique étudiée ?

Correction
Comme la suite de l'énergie Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} est croissante avec nn, en en déduit, après un calcul élémentaire, que Epctotale(n=1)=−e24πε0a<0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 1) = - \dfrac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 a} < 0. Donc, regardons les cas suivants, à savoir n=4n=4 et n=5n=5. On obtient alors :
∙  \bullet \,\, Si n = 4:\textbf{Si \textit{n} = 4} :
Epctotale(n=4)=e24πε0a[22−3]<0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 4) = \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 a} \left[ 2\sqrt{2} - 3 \right] <0
∙  \bullet \,\, Si n = 5:\textbf{Si \textit{n} = 5} :
Epctotale(n=5)≃0,47×e2πε0a>0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n = 5) \simeq 0,47 \times \dfrac{e^2}{\pi \varepsilon_0 a} > 0
Donc, on peut affirmer que :
- Si n⩽4n \leqslant 4 l'énergie Epctotale(n)<0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n) <0 : Le système est stable ;
- Si n⩾5n \geqslant 5 l'énergie Epctotale(n)>0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n) >0 : Le système est instable.
En effet, l'énergie potentielle de constitution d'une répartition de charges électriques Epc\mathcal{E}_{pc} est le travail effectué par un opérateur extérieur ... .
Donc, si Epctotale(n)<0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n) <0, alors dans ce cas le travail de la force de l'opérateur F→op\overrightarrow{F}_{op} est résistant. Donc cette force F→op\overrightarrow{F}_{op} est de sens opposé au sens du déplacement des charges pour arriver sur le cercle. Or, la force électrostatique F→elec\overrightarrow{F}_{elec} est opposée à celle de l'opérateur F→op\overrightarrow{F}_{op}. Donc la force électrostatique F→elec\overrightarrow{F}_{elec} tend à vers converger les électrons sur le cercle, donc vers le proton. Cette situation est évidente si n=1<0n=1<0.
En revanche, si Epctotale(n)>0\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n) >0, alors dans ce cas la force électrostatique F→elec\overrightarrow{F}_{elec} tend à vers diverger les électrons du le cercle : C'est l'instabilité.
Question 10

On note :
S=lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−11sin⁡(kπn)\mathcal{S} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)}
Étudier la convergence de cette série.

Correction
On sait que si X⟶0X \longrightarrow 0 alors sin⁡X∼X⟶0X\sin X \underset{X \longrightarrow 0}{\sim} X. Ainsi, lors que n⟶+∞n \longrightarrow + \infty alors :
sin⁡(kπn)∼n⟶+∞kπn    ⟺    1sin⁡(kπn)∼n⟶+∞nkπ\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{k\pi}{n} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{n}{k\pi}
Donc, on en déduit que :
lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−11sin⁡(kπn)∼n⟶+∞lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−1nkπ\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{n}{k\pi}
Soit :
S∼n⟶+∞lim⁡n⟶+∞nπ∑k=1k=n−11kS \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n}{\pi} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{k}
Or, le terme lim⁡n⟶+∞nπ∑k=1k=n−11k\displaystyle{\lim_{n \longrightarrow + \infty}} \dfrac{n}{\pi} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{k} diverge, ce qui implique que la série SS, qui lui est équivalente en +∞+\infty, diverge également.
Question 11

Étudier l'absolue convergence de la série S\mathcal{S}. Conclure sur la nature de cette série.

Correction
Étudions l'absolue convergence de la série S\mathcal{S}. On a alors :
lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−1∣1sin⁡(kπn)∣=lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−11∣sin⁡(kπn)∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \left| \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{ \left| \sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) \right|}
Or, d'après la question 6.6., on sait que, ∀n⩾2\forall n \geqslant 2 et ∀k∈[ ⁣[1 ; n−1] ⁣]\forall k \in [\![1\,;\,n-1]\!],
sin⁡(kπn)>0   ⟹   ∣sin⁡(kπn)∣=sin⁡(kπn)\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) > 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left| \sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) \right| = \sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)
Donc :
lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−1∣1sin⁡(kπn)∣=lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−11sin⁡(kπn)\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \left| \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \right|= \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \dfrac{1}{ \sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right) }
Soit
lim⁡n⟶+∞∑k=1k=n−1∣1sin⁡(kπn)∣=S\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{k = n-1} \left| \dfrac{1}{\sin \left( \dfrac{k\pi}{n}\right)} \right| = S
Comme SS est divergente, alors cette série n'est pas absolument convergente, ni même semi-convergente.
La série SS est simplement divergente.
Question 12

En déduire la limite suivante :
Epctotale(n⟶+∞)=lim⁡n⟶+∞Epctotale\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n \longrightarrow + \infty) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \mathcal{E}_{pc}^{totale}
Quelle(s) conclusion(s) physiques pouvez-vous faire ?

Correction
On a la limite suivante :
Epctotale(n⟶+∞)=lim⁡n⟶+∞Epctotale=+∞\mathcal{E}_{pc}^{totale} (n \longrightarrow + \infty) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \mathcal{E}_{pc}^{totale} = + \infty
L'énergie d'un tel système avec une infinité de charges aura tendance à se détruire par répulsion coulombienne. IL est donc totalement instable. Naturellement, ce système ne peut pas exister sans une intervention extérieure d'un opérateur.