Manipulations de sommes et de produits

Télescopages - Exercice 3

5 min
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Question 1

A=∑k=1n+2(ek−ek+1)A=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k-e^{k+1}\right)}

Correction
A=∑k=1n+2(ek−ek+1)A=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k-e^{k+1}\right)}
A=∑k=1n+2(ek)−∑k=1n+2(ek+1)A=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k\right)}-\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^{k+1}\right)}
On note B=∑k=1n+2(ek+1)B=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^{k+1}\right)}
On pose j=k+1j=k+1
  • lorsque k=1k=1 alors j=2j=2
  • lorsque k=n+2k=n+2 alors j=n+3j=n+3
    • Ainsi : B=∑j=2n+3(ej)B=\sum^{n+3}_{j=2}{\left(e^j\right)}
    La variable jj étant muette on peut alors écrire que : B=∑k=2n+3(ek)B=\sum^{n+3}_{k=2}{\left(e^k\right)}
    On peut maintenant écrire que :
    A=∑k=1n+2(ek)−∑k=2n+3(ek)A=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k\right)}-{\color{blue}{\sum^{n+3}_{k=2}{\left(e^k\right)}}}
    A=∑k=1n+2(ek)−((∑k=1n+2(ek))−e1+en+3)A=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k\right)}-{\color{blue}{\left(\left(\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k\right)}\right)-e^1+e^{n+3}\right)}}
    A=∑k=1n+2(ek)−∑k=1n+2(ek)+e1−en+3A=\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k\right)}-\sum^{n+2}_{k=1}{\left(e^k\right)}+e^1-e^{n+3}
    Finalement :
    A=e−en+3A=e-e^{n+3}