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Télescopages - Exercice 1

20 min
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Question 1

Soit n∈Nn \in \mathbb{N} .
Montrer que : ∑k=0nuk+3=∑k=3n+3uk\sum_{k = 0}^n u_{k+3}=\sum_{k = 3}^{n+3} u_{k}

Correction
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}, nous savons que ∑k=0nuk+3\sum_{k = 0}^n u_{k+3} .
On pose j=k+3j=k+3 .
Lorsque k=0k=0 alors j=0+3j=0+3 c'est à dire j=3j=3 .
Lorsque k=nk=n alors j=n+3j=n+3 .
Il en résulte donc que :
∑k=0nuk+3=∑j=3n+3uj\sum_{k = 0}^n u_{k+3}=\sum_{j = 3}^{n+3} u_{j}
La variable jj étant muette, nous pouvons écrire que :
∑k=0nuk+3=∑k=3n+3uk\sum_{k = 0}^n u_{k+3}=\sum_{k = 3}^{n+3} u_{k}
Question 2

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} .
Montrer que : ∑k=5n+21k+4=∑k=9n+61k\sum_{k = 5}^{n+2} \frac{1}{k+4}=\sum_{k = 9}^{n+6} \frac{1}{k}

Correction
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, nous savons que ∑k=5n+21k+4\sum_{k = 5}^{n+2} \frac{1}{k+4} .
On pose j=k+4j=k+4 .
Lorsque k=5k=5 alors j=5+4j=5+4 c'est à dire j=9j=9 .
Lorsque k=n+2k=n+2 alors j=n+2+4j=n+2+4 c'est à dire j=n+6j=n+6 .
Il en résulte donc que :
∑k=5n+21k+4=∑j=9n+61j\sum_{k = 5}^{n+2} \frac{1}{k+4}=\sum_{j = 9}^{n+6} \frac{1}{j}
La variable jj étant muette, nous pouvons écrire que :
∑k=5n+21k+4=∑k=9n+61k\sum_{k = 5}^{n+2} \frac{1}{k+4}=\sum_{k = 9}^{n+6} \frac{1}{k}
Question 3

Soit n∈Nn \in \mathbb{N} .
Montrer que : ∑p=2n+1ln(5+p) =∑j=7n+6ln(p) \sum_{p = 2}^{n+1} {\mathrm{ln} \left(5+p\right)\ }=\sum_{j = 7}^{n+6} {\mathrm{ln} \left(p\right)\ }

Correction
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}, nous savons que ∑p=2n+1ln(5+p) \sum_{p = 2}^{n+1} {\mathrm{ln} \left(5+p\right)\ } .
On pose j=5+pj=5+p .
Lorsque p=2p=2 alors j=5+2j=5+2 c'est à dire j=7j=7 .
Lorsque p=n+1p=n+1 alors j=5+n+1j=5+n+1 c'est à dire j=n+6j=n+6 .
Il en résulte donc que :
∑p=2n+1ln(5+p) =∑j=7n+6ln(j) \sum_{p = 2}^{n+1} {\mathrm{ln} \left(5+p\right)\ }=\sum_{j = 7}^{n+6} {\mathrm{ln} \left(j\right)\ }
La variable jj étant muette, nous pouvons écrire que :
∑p=2n+1ln(5+p) =∑j=7n+6ln(p) \sum_{p = 2}^{n+1} {\mathrm{ln} \left(5+p\right)\ }=\sum_{j = 7}^{n+6} {\mathrm{ln} \left(p\right)\ }
Question 4

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer que : ∑k=0n(ak+1+ak)=∑k=1n+1ak+∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} + a_k\right)=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}+\sum_{k = 0}^n a_{k}

Correction
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
∑k=0n(ak+1+ak)=∑k=0nak+1+∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} + a_k\right)=\sum_{k = 0}^n a_{k+1}+\sum_{k = 0}^n a_{k} équivaut successivement à :
Nous allons exprimer ∑k=0nak+1\sum_{k = 0}^n a_{k+1} à l'aide de ∑ak\sum_{}a_k .
On pose j=k+1j=k+1 .
Lorsque k=0k=0 alors j=0+1j=0+1 c'est à dire j=1j=1 .
Lorsque k=nk=n alors j=n+1j=n+1 .
Il en résulte donc que :
∑k=0nak+1=∑j=1n+1aj\sum_{k = 0}^n a_{k+1}=\sum_{j = 1}^{n+1} a_{j}
La variable jj étant muette, nous pouvons écrire que :
∑k=0nak+1=∑k=1n+1ak\sum_{k = 0}^n a_{k+1}=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}

On peut alors écrire que :
∑k=0n(ak+1+ak)=∑k=1n+1ak+∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} + a_k\right)=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}+\sum_{k = 0}^n a_{k}
Question 5

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer que : ∑k=0n(ak+1−ak)=an+1−a0\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=a_{n+1}-a_0

Correction
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
∑k=0n(ak+1−ak)=∑k=0nak+1−∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\sum_{k = 0}^n a_{k+1}-\sum_{k = 0}^n a_{k}
Nous allons exprimer ∑k=0nak+1\sum_{k = 0}^n a_{k+1} à l'aide de ∑ak\sum_{}a_k .
On pose j=k+1j=k+1 .
Lorsque k=0k=0 alors j=0+1j=0+1 c'est à dire j=1j=1 .
Lorsque k=nk=n alors j=n+1j=n+1 .
Il en résulte donc que :
∑k=0nak+1=∑j=1n+1aj\sum_{k = 0}^n a_{k+1}=\sum_{j = 1}^{n+1} a_{j}
Les variables kk et jj sont muettes, nous pouvons écrire que :
∑k=0nak+1=∑k=1n+1ak\sum_{k = 0}^n a_{k+1}=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}

On peut alors écrire que :
un=∑k=1n+1ak−∑k=0naku_n=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}-\sum_{k = 0}^n a_{k}

Maintenant, exprimons unu_n en fonction de nn.
On a alors :
∑k=0n(ak+1−ak)=∑k=1n+1ak−∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}-\sum_{k = 0}^n a_{k}
∑k=0n(ak+1−ak)=((∑k=0nak)−a0+an+1)−∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\left(\left(\sum_{k = 0}^{n} a_{k}\right)-a_0+a_{n+1}\right)-\sum_{k = 0}^n a_{k}
∑k=0n(ak+1−ak)=(∑k=0nak)−a0+an+1−∑k=0nak\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\left(\sum_{k = 0}^{n} a_{k}\right)-a_0+a_{n+1}-\sum_{k = 0}^n a_{k}
Finalement :
∑k=0n(ak+1−ak)=an+1−a0\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=a_{n+1}-a_0
Question 6

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer que : ∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=ln⁡(n+2)\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\ln\left(n+2\right)

Correction
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=∑k=0n(ln(k+2))−∑k=0n(ln(k+1))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right)-\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)
Il faut exprimer ∑k=0n(ln(k+2))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right) et ∑k=0n(ln(k+1))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right) à l'aide de ∑(ln(k))\sum\left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right) .
Nous appliquons la même méthode que les questions précédentes, en posant j=k+2j=k+2 pour exprimer ∑k=0n(ln(k+2))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right) en fonction de ∑(ln(k))\sum\left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right) . Puis poser j=k+1j=k+1 pour exprimer ∑k=0n(ln(k+2))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right) en fonction de ∑(ln(k))\sum\left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right) .
Il vient alors que :
∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=∑k=2n+2(ln(k))−∑k=1n+1(ln(k))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\sum_{k = 2}^{n+2} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)-\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)
∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=((∑k=1n+1(ln(k)))−ln⁡(1)+ln⁡(n+2))−∑k=1n+1(ln(k))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\left(\left(\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)\right)-\ln\left(1\right)+\ln\left(n+2\right)\right)-\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)
∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=∑k=1n+1(ln(k))−ln⁡(1)+ln⁡(n+2)−∑k=1n+1(ln(k))\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)-\ln\left(1\right)+\ln\left(n+2\right)-\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)
∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=−ln⁡(1)+ln⁡(n+2)\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=-\ln\left(1\right)+\ln\left(n+2\right)
Finalement :
∑k=0n(ln(k+2)−ln(k+1))=ln⁡(n+2)\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\ln\left(n+2\right)

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