Manipulations de sommes et de produits

Sujet 11 - Exercice 4

25 min
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Il est important de savoir se tester très sérieusement afin de se préparer convenablement à un devoir sur table.
Question 1

Soit nn un nombre entier naturel non nul. Soit aa, bb et cc trois nombres réels non nuls. Soit α\alpha, β\beta et γ\gamma trois nombres entiers naturels tels que α+β+γ=n\alpha + \beta + \gamma = n.
Calculer, en fonction de α\alpha, β\beta, γ\gamma, aa, bb et cc la somme SS suivante :
S=(a+b+c)nS = (a+b+c)^n

Correction
On a :
S=(a+b+c)n=(a+B)nS = (a+b+c)^n = (a+B)^n
Avec B=b+cB = b + c. Donc, par l'usage du binôme de NewtonNewton, on obtient :
S=(a+B)n=∑α=0n(nα)aαBn−αS = (a+B)^n = \sum_{\alpha = 0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ \alpha \\ \end{array}\right) a^\alpha B^{n-\alpha}
Ce qui nous donne :
S=∑α=0n(nα)aα(b+c)n−αS = \sum_{\alpha = 0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ \alpha \\ \end{array}\right) a^\alpha (b+c)^{n-\alpha}
En faisant encore usage du binôme de NewtonNewton pour développer (b+c)n−α(b+c)^{n-\alpha}, on obtient :
S=∑α=0n(nα)aα∑β=0n−α(n−αβ)bβcn−α−βS = \sum_{\alpha = 0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ \alpha \\ \end{array}\right) a^\alpha \sum_{\beta = 0}^{n-\alpha} \left( \begin{array}{c} n - \alpha \\ \beta \\ \end{array}\right) b^\beta c^{n-\alpha - \beta}
Or α+β+γ=n\alpha + \beta + \gamma = n ce qui implique que n−α−β=γn-\alpha - \beta = \gamma. D'où l'écriture suivante :
S=∑(α,β,γ)∈N3α+β+γ=n∈N(nα)(n−αβ)aαbβcγS = \sum_{\begin{array}{c}(\alpha, \beta, \gamma)\in \mathbb{N}^3 \\ \alpha + \beta + \gamma = n \in \mathbb{N} \end{array}} \left( \begin{array}{c} n \\ \alpha \\ \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} n - \alpha \\ \beta \\ \end{array}\right) a^\alpha b^\beta c^\gamma
En développant les deux coefficients binomiaux, on obtient :
S=∑(α,β,γ)∈N3α+β+γ=n∈Nn !α ! (n−α) !×(n−α) !β ! (n−α−β) !aαbβcγS = \sum_{\begin{array}{c}(\alpha, \beta, \gamma)\in \mathbb{N}^3 \\ \alpha + \beta + \gamma = n \in \mathbb{N} \end{array}} \dfrac{n \, !}{\alpha \, ! \, (n - \alpha) \, !} \times \dfrac{(n - \alpha) \, !}{\beta \, ! \, (n - \alpha - \beta) \, !} a^\alpha b^\beta c^\gamma
Or, n−α−β=γn-\alpha - \beta = \gamma, donc :
S=∑(α,β,γ)∈N3α+β+γ=n∈Nn !α ! (n−α) !×(n−α) !β ! γ !aαbβcγS = \sum_{\begin{array}{c}(\alpha, \beta, \gamma)\in \mathbb{N}^3 \\ \alpha + \beta + \gamma = n \in \mathbb{N} \end{array}} \dfrac{n \, !}{\alpha \, ! \, (n - \alpha) \, !} \times \dfrac{(n - \alpha) \, !}{\beta \, ! \, \gamma \, !} a^\alpha b^\beta c^\gamma
On simplifie alors les termes (différents de zéro) (n−α) !(n - \alpha) \, !, et on obtient alors :
S=∑(α,β,γ)∈N3α+β+γ=n∈Nn !α !×1β ! γ !aαbβcγS = \sum_{\begin{array}{c}(\alpha, \beta, \gamma)\in \mathbb{N}^3 \\ \alpha + \beta + \gamma = n \in \mathbb{N} \end{array}} \dfrac{n \, !}{\alpha \, !} \times \dfrac{1}{\beta \, ! \, \gamma \, !} a^\alpha b^\beta c^\gamma
Finalement, on trouve que :
S=(a+b+c)n=∑(α,β,γ)∈N3α+β+γ=n∈Nn !α ! β ! γ !aαbβcγ\color{red}{\boxed{ S = (a+b+c)^n = \sum_{\begin{array}{c}(\alpha, \beta, \gamma)\in \mathbb{N}^3 \\ \alpha + \beta + \gamma = n \in \mathbb{N} \end{array}} \dfrac{n \, !}{\alpha \, ! \, \beta \, ! \, \gamma \, !} a^\alpha b^\beta c^\gamma}}