Sujet $$1$$ - Exercice 3

On a :
$$Z = \sum_{i=1}^n\left( \left( - \dfrac{2}{3} \right)^i \sum_{k=i}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) 3^k \right) = \sum_{i=1}^n\left( \sum_{k=i}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - \dfrac{2}{3} \right)^i 3^k \right)$$
Soit encore :
$$Z = \sum_{i=1}^n\left( \sum_{k=i}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i \dfrac{3^k}{3^i} \right) = \sum_{i=1}^n\left( \sum_{k=i}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i 3^{k-i} \right)$$
A ce stade on voit apparaître une expression "qui ressemble" à un binôme de $$Newton$$. En effet, pour $$x$$ et $$y$$ réels et $$n \in\mathbb{N}$$, on a la formule suivante :
$$(x+y)^n = \sum_{k = 0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right) x^k y^{n-k}$$
Ce qui nous permet, par simple obervation, de comprendre que la somme qui doit accompagner l'expression $$\left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i 3^{k-i}$$ doit porter sur l'indice de sommation $$i$$ (et non $$k$$). En outre, la sommation sur l'indice $$i$$ doit débuter à $$0$$ pour être en accord avec la formule du binôme de $$Newton$$, et non $$1$$ comme dans l'expression de $$Z$$. On va donc devoir faire un jeu d'écriture pour faire débuter la somme sur $$i$$ à l'indice $$0$$. Ainsi, on va écrire que :
$$Z = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i=1}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i 3^{k-i} \right) = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i=0}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i 3^{k-i} - 3^k\right)$$
La somme $$\sum_{i=0}^n \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i 3^{k-i}$$ fait apparaître des termes $$i>k$$ qui vont de $$k+1$$ jusqu'à $$n$$. Or ces termes font tous $$0$$ car dans l'expression du coefficient binôniale $$\left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right)$$ on doit impérativement avoir $$i \leqslant k$$. Donc, on obtient :
$$Z = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i=0}^k \left( \begin{array}{c} k \\ i \\ \end{array}\right) \left( - 2 \right)^i 3^{k-i} - 3^k\right) = \sum_{k=1}^n\left( (-2+3)^k - 3^k\right) = \sum_{k=1}^n\left( 1^k - 3^k\right)$$
Ce qui nous donne :
$$Z = \sum_{k=1}^n\left( 1 - 3^k\right) = \sum_{k=1}^n 1 - \sum_{k=1}^n 3^k$$
Or, $$\sum_{k=1}^n 1 = n$$, et $$\sum_{k=1}^n 3^k = 3 \times \dfrac{1-3^n}{1-3} = -\dfrac{3}{2}(3^n - 1)$$. D'où :
Ce qui nous donne donc :
$$\color{red}{\boxed{ Z = n - \dfrac{3}{2}(3^n - 1) }}$$
$${\color{blue}{\clubsuit \,\, Remarque :}}$$
On a $$Z = n - \dfrac{3}{2}(3^n - 1) = n - \dfrac{3^{n+1} - 3}{2}$$.
Mais $$3^{n+1}$$ est un nombre entier impair, tout comme $$3$$. Donc leur différence $${\color{blue}{3^{n+1} - 3}}$$ est un nombre entier naturel $${\color{blue}{pair}}$$. Ainsi le nombre $${\color{red}{\dfrac{3^{n+1} - 3}{2}}}$$ est un nombre entier naturel $${\color{red}{pair}}$$. De fait, comme $$n \in \mathbb{N}^\star$$, la valeur de $$Z$$ est nécessairement un nombre entier relatif, donc $$Z \in \mathbb{Z}$$.