Sujet $$1$$ - Exercice 2

On a :
$$Q = \sum_{j=1}^n\left( \sum_{i=j}^n \dfrac{j}{i} \right) = \sum_{i=1}^n\left( \sum_{j=1}^n \dfrac{j}{i} \right) = \sum_{i=1}^n\left( \sum_{j=1}^n \dfrac{j}{i} \right)$$
La deuxième somme ne porte que sur l'indice de sommation $$j$$, donc on peut sortir le terme $$\dfrac{1}{i}$$ et de fait, l'indice de sommation $$j$$ débutera à $$j=1$$ et se terminera à $$j=i$$, avec $$i$$ qui est "bloqué" par la première sommation sur l'indice $$i$$. Donc, on obtient :
$$Q = \sum_{i=1}^n\left( \dfrac{1}{i} \sum_{j=1}^i j \right)$$
On reconnait dans la somme sur $$j$$ une somme bien connue, parfois appelée "somme de $$Gauss$$", et qui vaut $$\sum_{j=1}^i j = \dfrac{i(i+1)}{2}$$. On a alors :
$$Q = \sum_{i=1}^n\left( \dfrac{1}{i} \dfrac{i(i+1)}{2} \right) = \dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n (i+1)$$
De plus, en décalant l'indice de sommation, on peut écrire que :
$$\sum_{i=1}^n (i+1) = \sum_{k=2}^{n+1} k$$
Donc, on obtient :
$$Q = \dfrac{1}{2} \sum_{k={{\color{red}{2}}}}^{n+1} k = \dfrac{1}{2} \left( \sum_{k={{\color{red}{1}}}}^{n+1} k - {\color{red}{1}}\right)$$
Ce qui nous permet d'écrire :
$$Q = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} - 1 \right)$$
Finalement, on obtient :
$$\color{red}{\boxed{ Q = \dfrac{n(n^2+3)}{2}}}$$