Rudiments - Exercice 3

Soit $$i$$ le nombre complexe imaginaire tel que $$i^2= -1$$. On constate que :
$$S_C + i S_S = \sum_{k=0}^n \cos(kb + a) + i \sum_{k=0}^n \sin(kb + a) = \sum_{k=0}^n \left( \cos(kb + a) + i \sin(kb + a) \right) = \sum_{k=0}^n \left( e^{i\, (kb + a)} \right)$$
En développant l'exponentielle complexe, on obtient :
$$S_C + i S_S = \sum_{k=0}^n \left( e^{i\,kb} \times e^{i\,a} \right)$$
Comme l'indice de sommation est $$k$$ et que le terme $$e^{i\,a}$$ ne dépend pas de $$k$$, ce terme $$e^{i\,a}$$ peut donc sortir de la somme. On a alors l'égalité suivante :
$$S_C + i S_S = e^{i\,a}\sum_{k=0}^n \left( e^{i\,kb} \right) = e^{i\,a}\sum_{k=0}^n \left( e^{i\,b} \right)^k$$
Il s'agit donc d'une somme géométrique de $$n+1$$ termes, de premier terme $$\left( e^{i\,b} \right)^0=1$$ et de raison $$e^{i\,b}$$. On a alors :
$$S_C + i S_S = e^{i\,a} \times \left( e^{i\,b} \right)^0 \times \dfrac{1 - \left( e^{i\,b} \right)^{n+1}}{1 - e^{i\,b}} = e^{i\,a} \times 1 \times \dfrac{1 - e^{i\,(n+1)b}}{1 - e^{i\,b}} = e^{i\,a} \dfrac{1 - e^{i\,(n+1)b}}{1 - e^{i\,b}}$$
Or, on peut faire usage du jeu d'écriture suivant :
$$1 = e^0 = e^{i\,(\frac{b}{2}-\frac{b}{2})} = e^{i\,\frac{b}{2}-i\,\frac{b}{2}} = e^{i\,\frac{b}{2}} e^{-i\,\frac{b}{2}}$$
Mais également :
$$1 = e^0 = e^{i\,(n+1)(\frac{b}{2}-\frac{b}{2})} = e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}-i\,(n+1)\frac{b}{2}} = e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}} e^{-i\,(n+1)\frac{b}{2}}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$S_C + i S_S = e^{i\,a} \dfrac{e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}} e^{-i\,(n+1)\frac{b}{2}} - e^{i\,(n+1)b}}{e^{i\,\frac{b}{2}} e^{-i\,\frac{b}{2}} - e^{i\,b}}$$
Puis, afin d'effectuer une factorisation au numérateur, et au dénominateur, on a écrire que :
$$e^{i\,b} = e^{i\,\left( \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \right)} = e^{i\,\frac{b}{2}} e^{i\,\frac{b}{2}}$$
Mais également que :
$$e^{i\,(n+1)b} = e^{i\,(n+1)\left( \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \right)} = e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}} e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}$$
Ainsi, on obtient :
$$S_C + i S_S = e^{i\,a} \dfrac{{\color{red}{e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}}} e^{-i\,(n+1)\frac{b}{2}} - {\color{red}{e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}}} e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}}{{\color{blue}{e^{i\,\frac{b}{2}}}} e^{-i\,\frac{b}{2}} - {\color{blue}{e^{i\,\frac{b}{2}}}} e^{i\,\frac{b}{2}}} = e^{i\,a} \dfrac{{\color{red}{e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}}}}{{\color{blue}{e^{i\,\frac{b}{2}}}}} \dfrac{ e^{-i\,(n+1)\frac{b}{2}} - e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}}{e^{-i\,\frac{b}{2}} - e^{i\,\frac{b}{2}}}$$
Ceci peut encore s'écrire comme :
$$S_C + i S_S = e^{i\,a} {\color{red}{e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}}}} {\color{blue}{e^{-i\,\frac{b}{2}}}} \dfrac{ e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}} - e^{-i\,(n+1)\frac{b}{2}}}{e^{i\,\frac{b}{2}} - e^{-i\,\frac{b}{2}}}= e^{i\,\left(a +n \frac{b}{2}\right)} \dfrac{ \dfrac{e^{i\,(n+1)\frac{b}{2}} - e^{-i\,(n+1)\frac{b}{2}}}{2i}}{\dfrac{e^{i\,\frac{b}{2}} - e^{-i\,\frac{b}{2}}}{2i}}$$
Or, en se souvenant que pour $$X \in \mathbb{R}$$, on a :
$$\sin(X) = \dfrac{e^{iX} - e^{-iX}}{2i}$$
Donc :
$$S_C + i S_S = e^{i\,\left(a +n \frac{b}{2}\right)} \dfrac{\sin\left( (n+1)\dfrac{b}{2} \right) }{\sin\left( \dfrac{b}{2} \right)}$$
Ainsi, on obtient la formulation suivante :
$$S_C + i S_S = \left( \cos\left(a + n \dfrac{b}{2}\right) + i \sin\left(a + n \dfrac{b}{2}\right) \right) \dfrac{\sin\left( (n+1)\dfrac{b}{2} \right) }{\sin\left( \dfrac{b}{2} \right)}$$
En développant, on obtient l'égalité :
$${\color{red}{S_C}} + i {\color{blue}{S_S}} = {\color{red}{\dfrac{\sin\left( (n+1)\dfrac{b}{2} \right) }{\sin\left( \dfrac{b}{2} \right)}\cos\left(a + n \dfrac{b}{2}\right)}} + i {\color{blue}{\dfrac{\sin\left( (n+1)\dfrac{b}{2} \right) }{\sin\left( \dfrac{b}{2} \right)} \sin\left(a + n \dfrac{b}{2}\right) }}$$
Comme deux nombres complexes sont égaux si leurs $${\color{red}{\text{parties réelles}}}$$ et $${\color{blue}{\text{parties imaginaires}}}$$ sont les mêmes, on en déduit finalement que :
$$\color{red}{\boxed{S_C = \dfrac{\sin\left( (n+1)\dfrac{b}{2} \right) }{\sin\left( \dfrac{b}{2} \right)}\cos\left(a + n \dfrac{b}{2}\right) }}$$ $$\,\,\,$$ et $$\,\,\,$$ $$\color{blue}{\boxed{S_S = \dfrac{\sin\left( (n+1)\dfrac{b}{2} \right) }{\sin\left( \dfrac{b}{2} \right)}\sin\left(a + n \dfrac{b}{2}\right) }}$$