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Rudiments - Exercice 2

20 min
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Question 1

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S1=∑j=1n(4j+3)S_1=\sum^n_{j=1}{\left(4j+3\right)}

Correction
    Soit α\alpha un réel . Pour tout entier naturel nn, on a :
  • ∑k=0nα=(n+1)α\sum^n_{k=0}{\alpha=\left(n+1\right)\alpha}   \; ou encore   \;∑k=1nα=nα\sum^n_{k=1}{\alpha=n\alpha}
  • ∑k=0nk=n(n+1)2\sum^n_{k=0}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}   \;ou encore   \;∑k=1nk=n(n+1)2\sum^n_{k=1}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}
S1=∑j=1n(4j+3)S_1=\sum^n_{j=1}{\left(4j+3\right)}
S1=∑j=0n4j+∑j=0n3S_1=\sum^n_{j=0}{4j}+\sum^n_{j=0}{3}
S1=4∑j=0nj+∑j=0n3S_1=4\sum^n_{j=0}{j}+\sum^n_{j=0}{3}
S1=4×n(n+1)2+3(n+1)S_1=4\times\frac{n\left(n+1\right)}{2}+3\left(n+1\right)
S1=2n(n+1)+3(n+1)S_1=2n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)
Ainsi :
S1=(n+1)(2n+3)S_1=\left(n+1\right)\left(2n+3\right)
Question 2

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S2=∑j=0n(2j(j−3))S_2=\sum^n_{j=0}{\left(2j\left(j-3\right)\right)}

Correction
    Pour tout entier naturel nn, on a :
  • ∑k=0nk=n(n+1)2\sum^n_{k=0}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}   \;ou encore   \;∑k=1nk=n(n+1)2\sum^n_{k=1}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}
  • ∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum^n_{k=0}{k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}   \; ou encore   \;∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum^n_{k=1}{k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}
S2=∑j=0n(2j(j−3))S_2=\sum^n_{j=0}{\left(2j\left(j-3\right)\right)}
S2=∑j=0n(2j2−6j)S_2=\sum^n_{j=0}{\left(2j^2-6j\right)}
S2=∑j=0n2j2+∑j=0n(−6j)S_2=\sum^n_{j=0}{2j^2}+\sum^n_{j=0}{\left(-6j\right)}
S2=2∑j=0nj2−6∑j=0njS_2=2\sum^n_{j=0}{j^2}-6\sum^n_{j=0}{j}
S2=2(n(n+1)(2n+1)6)−6(n(n+1)2)S_2=2\left(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\right)-6\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)
Ainsi :
S2=23n(n−4)(n+1)S_2=\frac{2}{3}n\left(n-4\right)\left(n+1\right)

Question 3

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S3=∑k=0n(k+2)3S_3=\sum^n_{k=0}{{\left(k+2\right)}^3}

Correction
    Pour tout entier naturel nn, on a :
  • ∑k=0nk=n(n+1)2\sum^n_{k=0}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}   \;ou encore   \;∑k=1nk=n(n+1)2\sum^n_{k=1}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}
  • ∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum^n_{k=0}{k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}   \; ou encore   \;∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum^n_{k=1}{k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}
  •   \;∑k=0nk3=(n(n+1)2)2\sum^n_{k=0}{k^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2}ou encore   \;∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum^n_{k=1}{k^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2}
S3=∑k=0n(k+2)3S_3=\sum^n_{k=0}{{\left(k+2\right)}^3}
S3=∑k=0n(k3+6k2+12k+8)S_3=\sum^n_{k=0}{\left(k^3+6k^2+12k+8\right)}
S3=∑k=0nk3+6∑k=0nk2+12∑k=0nk+∑k=0n8S_3=\sum^n_{k=0}{k^3}+6\sum^n_{k=0}{k^2}+12\sum^n_{k=0}{k}+\sum^n_{k=0}{8}
S3=(n(n+1)2)2+6(n(n+1)(2n+1)6)+12(n(n+1)2)+8(n+1)S_3={\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2+6\left(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\right)+12\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)+8\left(n+1\right)
S3=(n(n+1)2)2+n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)+8(n+1)S_3={\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2+n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)+6n\left(n+1\right)+8\left(n+1\right)
S3=14(n+1)(n+4)(n2+5n+8)S_3=\frac{1}{4}\left(n+1\right)\left(n+4\right)\left(n^2+5n+8\right)
Ainsi :
S3=14n4+52n3+374n2+15n+8S_3=\frac{1}{4}n^4+\frac{5}{2}n^3+\frac{37}{4}n^2+15n+8

Question 4

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S4=∑k=38(k−3)2S_4=\sum^8_{k=3}{{\left(k-3\right)}^2} . Utilisez un changement de variable !

Correction
Nous allons poser j=k−3j=k-3 .
  • Lorsque k=3k=3 alors j=0j=0
  • Lorsque k=8k=8 alors j=5j=5
    • Ainsi :
    S4=∑k=08(k−3)2S_4=\sum^8_{k=0}{{\left(k-3\right)}^2} équivaut successivement à :
    S4=∑k=05j2S_4=\sum^{5}_{k=0}{{j}^2}
      Pour tout entier naturel nn, on a :
    • ∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum^n_{k=0}{k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}   \; ou encore   \;∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum^n_{k=1}{k^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}
    Il vient alors que :
    S4=5×6×116S_4=\frac{5\times6\times11}{6}
    D'où :
    S4=55S_4=55
    Question 5

    Soit nn un nombre entier naturel non nul. Calculer la somme suivante : S5=∑k=1nln(k) S_5=\sum^n_{k=1}{{\mathrm{ln} \left(k\right)\ }}

    Correction
    S5=∑k=1nln(k) S_5=\sum^n_{k=1}{{\mathrm{ln} \left(k\right)\ }}
    S5=ln(∏k=1nk) S_5={\mathrm{ln} \left(\prod^n_{k=1}{k}\right)\ }
    S5=ln(1×2×3×4×⋯×n) S_5={\mathrm{ln} \left(1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times n\right)\ }
    Ainsi :
    S5=ln(n!)S_5={\mathrm{ln} \left(n!\right)}

    Question 6

    Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S6=∏k=0n9kS_6=\prod^n_{k=0}{9^k}

    Correction
    S6=∏k=0n9kS_6=\prod^n_{k=0}{9^k}
    S6=90×91×92×93×94×95×⋯×9nS_6=9^0\times 9^1\times 9^2\times 9^3\times 9^4\times 9^5\times \cdots \times 9^n
    S6=90+1+2+3+4+5+⋯+nS_6=9^{0+1+2+3+4+5+\cdots +n}
    S6=9∑k=0nkS_6=9^{\sum^n_{k=0}{k}}
      Pour tout entier naturel nn, on a :
    • ∑k=0nk=n(n+1)2\sum^n_{k=0}{k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}}

    Ainsi :
    S6=9n(n+1)2S_6=9^{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}

    Question 7

    Calculer la somme suivante : S7=∑k=0n((−1)k+5×5k)S_7=\sum^{n}_{k=0}{\left({\left(-1\right)}^{k+5}\times 5^k\right)}

    Correction
    S7=∑k=0n((−1)k+5×5k)S_7=\sum^{n}_{k=0}{\left({\left(-1\right)}^{k+5}\times 5^k\right)}
    S7=∑k=0n((−1)5×(−1)k×5k)S_7=\sum^{n}_{k=0}{\left({\left(-1\right)}^5\times {\left(-1\right)}^k\times 5^k\right)}
    S7=(−1)5∑k=0n((−1)k×5k)S_7={\left(-1\right)}^5\sum^{n}_{k=0}{\left({\left(-1\right)}^k\times 5^k\right)}
    S7=(−1)5∑k=0n((−5)k)S_7={\left(-1\right)}^5\sum^{n}_{k=0}{\left({\left(-5\right)}^k\right)}
    S7=−∑k=0n((−5)k)S_7=-\sum^{n}_{k=0}{\left({\left(-5\right)}^k\right)}
    On reconnait la somme des n+1n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q=−5q=-5 et de premier terme (−5)0=1\left(-5\right)^0=1. On a alors :
    S7=−1−(−5)n+11−(−5)S_7=-\frac{1-{\left(-5\right)}^{n+1}}{1-\left(-5\right)}
    S7=−1−(−5)n+11+5S_7=-\frac{1-{\left(-5\right)}^{n+1}}{1+5}
    Ainsi :
    S7=−16(1−(−5)n+1)S_7=-\frac{1}{6}\left(1-{\left(-5\right)}^{n+1}\right)

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