Manipulations de sommes et de produits

Rudiments - Exercice 1

40 min
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Pour bien débuter.
Dans cet exercice, on vous propose des manipulations élémentaires. Il est important de bien les maîtriser.
Question 1

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S1=∑k=0n2S_1 = \sum_{k=0}^{n} 2.

Correction
On a :
S1=∑k=0n2=2∑k=0n1=2×(1+1+⋯+1⏟n+1  fois  le  terme  1)=2×(n+1)×1S_1 = \sum_{k=0}^{n} 2 = 2 \sum_{k=0}^{n} 1 = 2\times (\underbrace{1+1+ \cdots + 1}_{n+1 \,\, \mathrm{fois \,\, le \,\, terme} \,\, 1}) = 2 \times (n+1) \times 1
Finalement :
S1=∑k=0n2=2(n+1)S_1 = \sum_{k=0}^{n} 2 = 2 (n+1)
    Soit α\alpha un réel . Pour tout entier naturel nn, on a :
  • ∑k=0nα=(n+1)α\sum^n_{k=0}{\alpha=\left(n+1\right)\alpha}   \; ou encore   \;∑k=1nα=nα\sum^n_{k=1}{\alpha=n\alpha}
Question 2

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S2=∑k=0nkS_2 = \sum_{k=0}^{n} k.

Correction
On a :
S2=0+1+2+3+⋯+n−2+n−1+nS_2 = 0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + n-2 + n-1 + n
Mais on a également, en l'écrivant à rebours :
S2=n+n−1+n−2+n−3+⋯+2+1+0S_2 = n + n-1 + n-2 + n-3 + \cdots + 2 + 1 + 0
En additionnant, terme à terme (c'est-à-dire les termes de même position dans les expressions de S2S_2), ces deux expressions de la même somme, on a alors :
S2+S2=(0+n)+(1+n−1)+(2+n−2)+(3+n−3)+⋯+(n−2+2)+(n−1+1)+(n+0)S_2 + S_2 = (0+n) + (1+n-1) + (2+n-2) + (3+n-3) + \cdots + (n-2+2) + (n-1+1) + (n+0)
Chaque terme entre parenthèse est égal à nn, ce qui nous donne donc :
2S2=n+n+n+n+⋯+n+n+n2 S_2 = n + n + n + n + \cdots + n + n + n
On constate alors que le terme nn est présent n+1n+1 fois dans cette somme. On a alors :
2S2=n×(1+1+⋯+1⏟n+1  fois  le  terme  1)=n(n+1)2 S_2 = n \times (\underbrace{1+1+ \cdots + 1}_{n+1 \,\, \mathrm{fois \,\, le \,\, terme} \,\, 1}) = n (n+1)
Finalement, on en déduit que :
S2=∑k=0nk=n(n+1)2S_2 = \sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n (n+1)}{2}

La méthode présentée ici est due au Mathématicien allemand GaussGauss.
Question 3

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S3=∑k=0n(2k+3)S_3 = \sum_{k=0}^{n} (2k+3).

Correction
On a :
S3=∑k=0n(2k+3)=∑k=0n2k+∑k=0n3=2∑k=0nk+3∑k=0n1S_3 = \sum_{k=0}^{n} (2k+3) = \sum_{k=0}^{n} 2k + \sum_{k=0}^{n} 3 = 2 \sum_{k=0}^{n}k + 3\sum_{k=0}^{n}1
Ainsi :
S3=2S2+3S12S_3 = 2 S_2 + 3\dfrac{S_1}{2}
Ce qui nous donne :
S3=2n(n+1)2+3(n+1)S_3 = 2 \dfrac{n (n+1)}{2} + 3(n+1)
En simplifiant :
S3=n(n+1)+3(n+1)S_3 = n (n+1) + 3(n+1)
En factorisant par n+1n+1, on obtient :
S3=(n+1)(n+3)S_3 = (n+1) (n+3)
Question 4

Soit nn un nombre entier naturel non nul. Calculer la somme suivante : S4=∑k=0n−1(2k+1)S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1).

Correction
∀n∈N\forall n\in \mathbb{N} , ∑i=1ni=n(n+1)2\sum _{i=1}^{n}i =\frac{n\left(n+1\right)}{2}
On a :
S4=∑k=0n−1(2k+1)=2∑k=0n−1k+∑k=0n−11S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = 2 \sum_{k=0}^{n-1}k + \sum_{k=0}^{n-1} 1
Soit (à l'aide de la question 2)) :
S4=∑k=0n−1(2k+1)=2(n−1)(n−1+1)2+∑k=0n−11S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = 2 \dfrac{(n-1)(n-1+1)}{2} + \sum_{k=0}^{n-1} 1
D'où :
S4=∑k=0n−1(2k+1)=(n−1)(n)+∑k=0n−11=n(n−1)+1+1+⋯+1⏟n  fois  le  terme  1S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = (n-1)(n) + \sum_{k=0}^{n-1} 1 = n(n-1) + \underbrace{1+1+ \cdots + 1}_{n \,\, \mathrm{fois \,\, le \,\, terme} \,\, 1}
Ce qui nous donne :
S4=∑k=0n−1(2k+1)=n(n−1)+n×1S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n(n-1) + n \times 1
En factorisant par nn, on obtient :
S4=∑k=0n−1(2k+1)=n(n−1+1)=n(n+0)S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n(n-1+1) = n(n+0)
Ce qui nous donne :
S4=∑k=0n−1(2k+1)=n2S_4 = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1) = n^2
Question 5

Soit nn un entier naturel. Ecrire, à l'aide du symbole de sommation ∑\sum, l'expression ss suivante : s=n+1+⋯+2ns = n+1+ \cdots +2n.

Correction
On a :
s=n+n+1+⋯+2n=∑k=n2nks = n + n+1 + \cdots + 2n = \sum_{k = n}^{2n} k
Mais, on a également la possibilité suivante :
s=n+n+1+⋯+2n=n+n+1+⋯+(n+n)=∑k=0n(n+k)s = n + n+1 + \cdots + 2n = n + n+1 + \cdots + (n+n) = \sum_{k = 0}^{n} (n+k)
Question 6

Soit nn un entier naturel. Ecrire, à l'aide du symbole de sommation ∑\sum, l'expression SS suivante : S=x1xn+x2xn−1+⋯+xn−1x2+xnx1S = \dfrac{x_1}{x_n} + \dfrac{x_2}{x_{n-1}} + \cdots + \dfrac{x_{n-1}}{x_2} + \dfrac{x_n}{x_1}.

Correction
On a :
S=x1xn+x2xn−1+⋯+xn−1x2+xnx1=∑k=1nxkxn−k−1S = \dfrac{x_1}{x_n} + \dfrac{x_2}{x_{n-1}} + \cdots + \dfrac{x_{n-1}}{x_2} + \dfrac{x_n}{x_1} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{x_k}{x_{n-k-1}}.
Question 7

Soit nn un nombre entier naturel. Calculer la somme suivante : S7=∑k=0nnS_7 = \sum_{k=0}^{n} n.

Correction
    Soit α\alpha un réel . Pour tout entier naturel nn, on a :
  • ∑k=0nα=(n+1)α\sum^n_{k=0}{\alpha=\left(n+1\right)\alpha}   \; ou encore   \;∑k=1nα=nα\sum^n_{k=1}{\alpha=n\alpha}
On a :
S7=∑k=0nn=n+n+n+n+⋯+n+n+nS_7 = \sum_{k=0}^{n} n = n + n + n + n + \cdots + n + n + n
En factorisant par nn, on obtient :
S7=∑k=0nn=n×(1+1+⋯+1⏟n+1  fois  le  terme  1)=n(n+1)S_7 = \sum_{k=0}^{n} n = n \times (\underbrace{1+1+ \cdots + 1}_{n+1 \,\, \mathrm{fois \,\, le \,\, terme} \,\, 1}) = n (n+1)
Finalement, on en déduit que
S7=∑k=0nn=n(n+1)S_7 = \sum_{k=0}^{n} n = n (n+1)
Question 8

Calculer la somme suivante : S8=∑k=0n2kS_8 = \sum_{k=0}^{n} 2^k.

Correction
On reconnait la somme des n+1n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q=2q=2 et de premier terme 20=12^0=1. On a alors :
S8=∑k=0n2k=20×1−2n+11−2=1×1−2n+1−1=−(1−2n+1)S_8 = \sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^0 \times \dfrac{1-2^{n+1}}{1-2} = 1 \times \dfrac{1-2^{n+1}}{-1} = - \left( 1-2^{n+1} \right)
Finalement :
S8=∑k=0n2k=2n+1−1S_8 = \sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} -1