Manipulations de sommes et de produits

Produits doubles - Exercice 1

1 h
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Les doubles produits nécessitent une attention toutes particulières sur les indices de multiplication. Nous allons illustrer cela.
Question 1
Dans cet exercice nn est un nombre entier naturel supérieur ou égal à deux.

Calculer le double produit P1P_1 suivant : P1=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ijP_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij.

Correction
On a :
P1=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ij=i=1n(j=1nij)P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \prod_{i=1}^{n} \left( \prod_{j=1}^{n} ij\right)
Le second produit ne porte que sur jj, donc le terme ii va pouvoir en sortir, cependant ce terme apparait nn fois. Donc :
P1=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ij=i=1n(in(j=1nj))=i=1n(in(n!))P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \prod_{i=1}^{n} \left( i^n \left( \prod_{j=1}^{n} j \right) \right) = \prod_{i=1}^{n} \left( i^n \left( n \, !\right) \right)
Cette fois encore, le second produit ne porte que sur ii, donc le terme (n!)\left( n \, !\right) va pouvoir en sortir, cependant ce terme apparait nn fois. Donc :
P1=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ij=(n!)ni=1ninP_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \left( n \, !\right)^n \prod_{i=1}^{n} i^n
Mais, on a :
i=1nin=1n×2n×3n××nn=(1×2×3××n)n=(i=1ni)n=(n!)n \prod_{i=1}^{n} i^n = 1^n \times 2^n \times 3^n \times \cdots \times n^n = \left( 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \right)^n = \left( \prod_{i=1}^{n} i \right)^n = \left( n \, !\right)^n
Ainsi, on obtient :
P1=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ij=(n!)n(n!)n=((n!)n)2P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \left( n \, !\right)^n \left( n \, !\right)^n = \left(\left( n \, !\right)^n \right)^2
Finalement :
P1=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ij=(n!)2n{\color{red}{\boxed{P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \left( n \, !\right)^{2n}}}}
Question 2

Calculer le double produit P2P_2 suivant : P2=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ijijP_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij.

Correction
Ce double produit P2P_2 est contenu dan le double produit P1P_1 de la question précédente. En effet, on doit uniquement retirer les terme i=ji=j de P1P_1 puisque qu'ils ne sont pas présents dans la définition de P2P_2. On a alors :
P2=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ijij=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ij(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2i=jij=P1i=1ni2=(n!)2ni=1ni2P_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij = \dfrac{\displaystyle{\prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij}}{\prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i = j \\ \end{array}} ij} = \dfrac{P_1}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}} i^2} = \dfrac{\left( n \, !\right)^{2n}}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}} i^2}
De plus, on peut écrire que :
Mais, on a :
i=1ni2=12×22×32××n2=(1×2×3××n)2=(i=1ni)2=(n!)2 \prod_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 \times 2^2 \times 3^2 \times \cdots \times n^2 = \left( 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \right)^2 = \left( \prod_{i=1}^{n} i \right)^2 = \left( n \, !\right)^2
Ainsi, on obtient :
P2=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ijij=(n!)2n(n!)2=(n!)2n×(n!)2=(n!)2n2P_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij = \dfrac{\left( n \, !\right)^{2n}}{\left( n \, !\right)^2} = \left( n \, !\right)^{2n} \times \left( n \, !\right)^{-2} = \left( n \, !\right)^{2n-2}
Finalement :
P2=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ijij=(n!)2(n1){\color{red}{\boxed{P_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij = \left( n \, !\right)^{2(n-1)}}}}
Question 3

Calculer le double produit P3P_3 suivant : P3=1i<jnijP_3 = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij.

Correction
En observant attentivement la définition des indices de sommation de P3P_3, à savoir 1i<jn1 \leqslant i < j \leqslant n, on constate que nous sommes conduit à une multiplication des termes ijij qui va contenir la moitié de (i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2(ij)(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \,\, (i \neq j) de P2P_2.
Il ne s'agit pas de multiplier par 22 (cela serait associeˊ aˋ la sommation)\left(\text{cela serait associé à la sommation} \sum\right) mais d'eˊlever au carreˊ{\color{red}{\text{élever au carré}}} car il s'agit ici d'un produit{\color{red}{\text{produit}}}.
On a alors :
(P3)2=P2>0(P_3)^2 = P_2 > 0
Ce qui nous donne :
P3=±P2P_3 = \pm \sqrt{P_2}
Or, dans la définition de P3P_3, on ne fait que multiplier entre eux des terme ijij poiur lesquels ii et jj sont positifs. Donc P3P_3 est positif. Ce qui implique que :
P3=+P2P_3 = + \sqrt{P_2}
D'où :
P3=(i;j)[ ⁣[1;n] ⁣]2ijij=(n!)2(n1)=((n!)n1)2P_3 = \sqrt{\prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij} = \sqrt{\left( n \, !\right)^{2(n-1)}} = \sqrt{\left( \left( n \, !\right)^{n-1} \right)^2}
Finalement :
P3=1i<jnij=(n!)n1{\color{red}{\boxed{P_3 = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{n-1}}}}
Question 4

Calculer le double produit P4P_4 suivant : P4=1ijnijP_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij.

Correction
Cette fois, en observant attentivement la définition des indices de multiplications, on constate que le produit P4P_4 est similaire à P3P_3 (celui de la question précédente), auquel on rajoute les produits associés à la situations i=ji=j. En effet, on remarque que pour P3P_3 on avait 1i<jn1 \leqslant i \,\, {\color{red}{<}} \,\,j \leqslant n et pour P4P_4 on a 1ijn1 \leqslant i \,\, {\color{red}{\leqslant}} \,\,j \leqslant n.
Ceci nous permet d'écrire que :
P4=P3×(Tous les produits pour lesquels i=j)P_4 = {\color{red}{P_3}} \times ({\color{blue}{\text{Tous les produits pour lesquels }i=j}})
Soit :
1ijnij=1i<jnij×i=1nii\prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = {\color{red}{\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij }}\times {\color{blue}{\prod_{i=1}^n ii}}
Soit encore :
1ijnij=1i<jnij×i=1ni2\prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = {\color{red}{\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij }}\times {\color{blue}{\prod_{i=1}^n i^2}}
Mais, on a :
i=1ni2=12×22×32××n2=(1×2×3××n)2=(i=1ni)2=(n!)2{\color{blue}{ \prod_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 \times 2^2 \times 3^2 \times \cdots \times n^2 = \left( 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \right)^2 = \left( \prod_{i=1}^{n} i \right)^2 = \left( n \, !\right)^2 }}
Et en tenant compte de la question précédente :
P3=1i<jnij=(n!)n1{\color{red}{P_3 = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{n-1}}}
Ce qui nous donne donc :
P4=1ijnij=(n!)n1×(n!)2P_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = {\color{red}{\left( n \, !\right)^{n-1}}} \times {\color{blue}{ \left( n \, !\right)^2 }}
Ainsi :
P4=1ijnij=(n!)n1+2P_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{{\color{red}{n-1}}{\color{blue}{+2}}}
Finalement :
P4=1ijnij=(n!)n+1{\color{red}{\boxed{P_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{n+1}}}}