Produits doubles - Exercice 1

On a :
$$P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \prod_{i=1}^{n} \left( \prod_{j=1}^{n} ij\right)$$
Le second produit ne porte que sur $$j$$, donc le terme $$i$$ va pouvoir en sortir, cependant ce terme apparait $$n$$ fois. Donc :
$$P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \prod_{i=1}^{n} \left( i^n \left( \prod_{j=1}^{n} j \right) \right) = \prod_{i=1}^{n} \left( i^n \left( n \, !\right) \right)$$
Cette fois encore, le second produit ne porte que sur $$i$$, donc le terme $$\left( n \, !\right)$$ va pouvoir en sortir, cependant ce terme apparait $$n$$ fois. Donc :
$$P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \left( n \, !\right)^n \prod_{i=1}^{n} i^n$$
Mais, on a :
$$\prod_{i=1}^{n} i^n = 1^n \times 2^n \times 3^n \times \cdots \times n^n = \left( 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \right)^n = \left( \prod_{i=1}^{n} i \right)^n = \left( n \, !\right)^n$$
Ainsi, on obtient :
$$P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \left( n \, !\right)^n \left( n \, !\right)^n = \left(\left( n \, !\right)^n \right)^2$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_1 = \prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij = \left( n \, !\right)^{2n}}}}$$

Ce double produit $$P_2$$ est contenu dan le double produit $$P_1$$ de la question précédente. En effet, on doit uniquement retirer les terme $$i=j$$ de $$P_1$$ puisque qu'ils ne sont pas présents dans la définition de $$P_2$$. On a alors :
$$P_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij = \dfrac{\displaystyle{\prod_{(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2} ij}}{\prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i = j \\ \end{array}} ij} = \dfrac{P_1}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}} i^2} = \dfrac{\left( n \, !\right)^{2n}}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}} i^2}$$
De plus, on peut écrire que :
Mais, on a :
$$\prod_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 \times 2^2 \times 3^2 \times \cdots \times n^2 = \left( 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \right)^2 = \left( \prod_{i=1}^{n} i \right)^2 = \left( n \, !\right)^2$$
Ainsi, on obtient :
$$P_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij = \dfrac{\left( n \, !\right)^{2n}}{\left( n \, !\right)^2} = \left( n \, !\right)^{2n} \times \left( n \, !\right)^{-2} = \left( n \, !\right)^{2n-2}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_2 = \prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij = \left( n \, !\right)^{2(n-1)}}}}$$

En observant attentivement la définition des indices de sommation de $$P_3$$, à savoir $$1 \leqslant i < j \leqslant n$$, on constate que nous sommes conduit à une multiplication des termes $$ij$$ qui va contenir la moitié de $$(i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \,\, (i \neq j)$$ de $$P_2$$.
Il ne s'agit pas de multiplier par $$2$$ $$\left(\text{cela serait associé à la sommation} \sum\right)$$ mais d'$${\color{red}{\text{élever au carré}}}$$ car il s'agit ici d'un $${\color{red}{\text{produit}}}$$.
On a alors :
$$(P_3)^2 = P_2 > 0$$
Ce qui nous donne :
$$P_3 = \pm \sqrt{P_2}$$
Or, dans la définition de $$P_3$$, on ne fait que multiplier entre eux des terme $$ij$$ poiur lesquels $$i$$ et $$j$$ sont positifs. Donc $$P_3$$ est positif. Ce qui implique que :
$$P_3 = + \sqrt{P_2}$$
D'où :
$$P_3 = \sqrt{\prod_{\begin{array}{c} (i\,;\,j) \in [\![1;n]\!]^2 \\ i \neq j \\ \end{array}} ij} = \sqrt{\left( n \, !\right)^{2(n-1)}} = \sqrt{\left( \left( n \, !\right)^{n-1} \right)^2}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_3 = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{n-1}}}}$$

Cette fois, en observant attentivement la définition des indices de multiplications, on constate que le produit $$P_4$$ est similaire à $$P_3$$ (celui de la question précédente), auquel on rajoute les produits associés à la situations $$i=j$$. En effet, on remarque que pour $$P_3$$ on avait $$1 \leqslant i \,\, {\color{red}{<}} \,\,j \leqslant n$$ et pour $$P_4$$ on a $$1 \leqslant i \,\, {\color{red}{\leqslant}} \,\,j \leqslant n$$.
Ceci nous permet d'écrire que :
$$P_4 = {\color{red}{P_3}} \times ({\color{blue}{\text{Tous les produits pour lesquels }i=j}})$$
Soit :
$$\prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = {\color{red}{\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij }}\times {\color{blue}{\prod_{i=1}^n ii}}$$
Soit encore :
$$\prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = {\color{red}{\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij }}\times {\color{blue}{\prod_{i=1}^n i^2}}$$
Mais, on a :
$${\color{blue}{ \prod_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 \times 2^2 \times 3^2 \times \cdots \times n^2 = \left( 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \right)^2 = \left( \prod_{i=1}^{n} i \right)^2 = \left( n \, !\right)^2 }}$$
Et en tenant compte de la question précédente :
$${\color{red}{P_3 = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{n-1}}}$$
Ce qui nous donne donc :
$$P_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = {\color{red}{\left( n \, !\right)^{n-1}}} \times {\color{blue}{ \left( n \, !\right)^2 }}$$
Ainsi :
$$P_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{{\color{red}{n-1}}{\color{blue}{+2}}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_4 = \prod_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij = \left( n \, !\right)^{n+1}}}}$$