Produits - Exercice 1

Selon l'expression du produit $$P_1$$ proposé, on a :
$$P_1 = \prod_{k=1}^n k = 1 \times 2 \times \cdots \times k \times \cdots \times n$$
Il s'agit directement de la définition de factorielle $$n$$, qui est notée $$n \, !$$.
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_1 = \prod_{k=1}^n k = n \, !}}}$$

Dans le produit $$P_2$$ proposé, le premier terme, qui va multiplier tous les autres, est $$0$$. Donc, irrémédiablement, le produit $$P_2$$ est nul !
D'où :
$${\color{red}{\boxed{P_2 = \prod_{k=0}^n k = 0}}}$$

On a :
$$P_3 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k} \right) = \prod_{k=2}^n \left( \dfrac{k-1}{k} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \cdots \times \dfrac{n-2}{n-1} \times \dfrac{n-1}{n}$$
En effectuant toutes les simplifications, on obtient finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_3 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k} \right) = \dfrac{1}{n}}}}$$

On a :
$$P_4 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k^2} \right) = \prod_{k=2}^n \left( \dfrac{k^2-1}{k^2} \right) = \prod_{k=2}^n \left( \dfrac{k^2-1^2}{k^2} \right) = \prod_{k=2}^n \left( \dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2} \right) =\prod_{k=2}^n \left( \dfrac{(k-1)(k+1)}{kk} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$P_4 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k^2} \right) = \prod_{k=2}^n \left( \dfrac{k-1}{k} \times \left( \dfrac{k}{k+1}\right)^{-1} \right)$$
On va alors faire apparaître une "fraction de fractions". Ainsi, écrivons :
$$P_4 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k^2} \right) = \prod_{k=2}^n \left( \dfrac{\dfrac{k-1}{k}}{\dfrac{k}{k+1}} \right)$$
En écrivant les termes successifs de ce produit $$P_4$$, on obtient :
$$P_4 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k^2} \right) = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{{\color{red}{\dfrac{2}{3}}}} \times \dfrac{{\color{red}{\dfrac{2}{3}}}}{{\color{blue}{\dfrac{3}{4}}}} \times \dfrac{{\color{blue}{\dfrac{3}{4}}}}{{\color{brown}{\dfrac{4}{5}}}} \times \cdots \times \dfrac{{\color{orange}{\dfrac{n-2}{n-1}}}}{{\color{green}{\dfrac{n-1}{n}}}} \times \dfrac{{\color{green}{\dfrac{n-1}{n}}}}{\dfrac{n}{n+1}}$$
En effectuant toutes les simplifications (selon les termes de mêmes couleurs), on obtient :
$$P_4 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k^2} \right) = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} \times \dfrac{1}{1} \times \dfrac{1}{1} \times \cdots \times \dfrac{1}{1} \times \dfrac{1}{\dfrac{n}{n+1}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{n}{n+1}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_4 = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k^2} \right) = \dfrac{n+1}{2n}}}}$$

On a :
$$P_p = 2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \cdots \times (2n-2) \times 2n = {\color{red}{2}} \times 1 \times {\color{red}{2}} \times 2 \times {\color{red}{2}} \times 3 \times {\color{red}{2}} \times 4 \times \cdots \times {\color{red}{2}} \times (n-1) \times {\color{red}{2}} \times n$$
Ce qui nous donne :
$$P_p = 2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \cdots \times (2n-2) \times 2n = {\color{red}{2^n}} \times \left( 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times (n-1) \times n \right) = {\color{red}{2^n}} \times n \, !$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_p = 2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \cdots \times (2n-2) \times 2n = 2^n n\, ! }}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \,\, \text{Remarque :}}}$$
Ce produit $$P_p$$ se note également $${\color{blue}{2n\,!!}}$$, qui se lit $${\color{blue}{\text{double factorielle du nombre } 2n}}$$.

On a :
$$P_i = 1 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times (2n-1) \times (2n+1)$$
Soit encore :
$$P_i = \dfrac{1 \times {\color{red}{2}} \times 3 \times {\color{red}{4}} \times 5 \times {\color{red}{6}} \times 7 \times {\color{red}{8}} \times \cdots \times {\color{red}{(2n-2)}}\times (2n-1) \times {\color{red}{(2n)}} \times (2n+1)}{ {\color{red}{2}} \times {\color{red}{4}} \times {\color{red}{6}} \times {\color{red}{8}} \times \cdots \times {\color{red}{(2n-2)}} \times {\color{red}{2n}}} = \dfrac{(2n+1) \, !}{P_p} = \dfrac{(2n+1) \, !}{ 2^n n\, !}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_i = 1 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times (2n-1) \times (2n+1) = \dfrac{(2n+1) \, !}{ 2^n n\, !} }}}$$

La variable de sommation étant présente dans la puissance du terme qui est à multiplier, prenons le logarithme népérien de ce produit $$P_\ell$$. On a alors :
$$\ln \left(P_\ell\right) = \ln \left(\prod_{k=1}^n 2^{\frac{1}{k(k+1)}}\right) = \sum_{k=1}^{n} \ln \left(2^{\frac{1}{k(k+1)}}\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \ln\left(2\right) = \ln\left(2\right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$$
Soit $$a$$ et $$b$$ deux nombres réels tels que :
$$\dfrac{a}{k} - \dfrac{b}{k+1} = \dfrac{a(k+1)}{k(k+1)} - \dfrac{bk}{k(k+1)} = \dfrac{a(k+1) - bk}{k(k+1)} = \dfrac{ak + a - bk}{k(k+1)} = \dfrac{(a-b)k + a}{k(k+1)}$$
Soit l'égalité :
$$\dfrac{(a-b)k + a}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k(k+1)} \,\,\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, (a-b)k + a = 1 \,\,\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, (a-b)k + a = 0k + 1$$
Ainsi, on en déduit que $$a-b=0$$ et de fait $$a=b$$. Puis, on en déduit également que $$a=1$$. Donc $$a=b=1$$. On a alors :
$$\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} = \dfrac{1}{k(k+1)}$$.
On a alors :
$$S = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} \right) = - \sum_{k=1}^{n} \left( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k} \right)$$
Selon le principe du télescopage, il ne reste que les deux termes extrêmaux. On a donc :
$$S = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = - \sum_{k=1}^{n} \left( \dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k} \right)= - \left( \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{1} \right) = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}$$
En réduisant au même dénominateur, on trouve alors :
$$S = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{n}{n+1}$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\ln \left(P_\ell\right) = \ln\left(2\right) \times \dfrac{n}{n+1}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$P_\ell = e^{\ln \left(P_\ell\right)} = e^{\ln\left(2\right) \times \frac{n}{n+1}} = e^{\ln\left(2^{\frac{n}{n+1}}\right)}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_\ell = \prod_{k=1}^n 2^{\frac{1}{k(k+1)}} = 2^{\frac{n}{n+1}} }}}$$