Manipulations de sommes et de produits

Pour apprendre - Exercice 3

20 min
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Question 1

Calculer la somme S1S_1 suivante : S1=∑j=03njS_1 = \sum_{j=0}^{3n} j.

Correction
On reconnait la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 11 .
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S1=∑j=03njS_1 = \sum_{j=0}^{3n} j.
S1=(nombres de termes)×(premier terme+dernier terme2)S_1=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)
S1=(3n+1)×(0+3n2)S_1= \left(3n+1\right)\times \left(\frac{0 +3n }{2} \right)
Ainsi :
S1=3n(3n+1)2S_1= \frac{3n\left(3n+1\right)}{2}
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S1=0+1+2+…+3nS_1=0+1+2+\ldots +3n comprend 3n+13n+1 termes. Ici le plus grand indice est 3n3n , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : 3n−0+1=3n+13n-0+1=3n+1. Nous avons donc 3n+13n+1 termes.
    • Question 2

    Calculer la somme S2S_2 suivante : S2=∑i=0n+3(5×6i)S_2 = \sum_{i=0}^{n+3} \left(5\times6^{i}\right).

    Correction
    S2=∑i=0n+4(5×6i)S_2 = \sum_{i=0}^{n+4} \left(5\times6^{i}\right) équivaut successivement à :
    S2=5∑i=0n+46iS_2 = 5\sum_{i=0}^{n+4} 6^{i}
    On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison 66 .
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S2=5×(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)S_2 = 5\times \left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S2=5×60×(1−6n+51−6)S_2 = 5\times 6^0\times \left(\frac{1-6^{n+5}}{1-6}\right)
    S2=5×1×(1−6n+5−5)S_2 = 5\times 1\times \left(\frac{1-6^{n+5}}{-5}\right)
    S2=−(1−6n+5)S_2 = -\left(1-6^{n+5}\right)
    Ainsi :
    S2=6n+5−1S_2 = 6^{n+5}-1
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S2S_2 comprend n+5n+5 termes. Ici le plus grand indice est n+4n+4 , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n+4−0+1=n+5n+4-0+1=n+5. Nous avons donc n+5n+5 termes.
    • Question 3

    Calculer la somme S3S_3 suivante : S3=∑k=02n−3(15k)S_3 = \sum_{k=0}^{2n-3} \left(\frac{1}{5^k}\right).

    Correction
    S3=∑k=02n−3(15k)S_3 = \sum_{k=0}^{2n-3} \left(\frac{1}{5^k}\right) équivaut successivement à :
    S3=∑k=02n−3(1k5k)S_3 = \sum_{k=0}^{2n-3} \left(\frac{1^k}{5^k}\right)
    S3=∑k=02n−3(15)kS_3 = \sum_{k=0}^{2n-3} \left(\frac{1}{5}\right)^k
    On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison 15\frac{1}{5} .
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S3=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)S_3 = \left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S3=(15)0×(1−(15)2n−21−15)S_3 = \left(\frac{1}{5}\right)^0\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{2n-2}}{1-\frac{1}{5}}\right)
    S3=1−(15)2n−245S_3 = \frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{2n-2}}{\frac{4}{5}}
    Ainsi :
    S3=54(1−(15)2n−2)S_3 = \frac{5}{4}\left(1-\left(\frac{1}{5}\right)^{2n-2}\right)
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S3S_3 comprend 2n−22n-2 termes. Ici le plus grand indice est 2n−32n-3 , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : 2n−3−0+1=2n−22n-3-0+1=2n-2. Nous avons donc 2n−22n-2 termes.
    • Question 4

    Calculer la somme S4S_4 suivante : S4=∑k=0n−6(3⋅7k+12k)S_4 = \sum_{k=0}^{n-6} \left(\frac{3 \cdot7^{k+1}}{2^k}\right).

    Correction
    S4=∑k=0n−6(3⋅7k+12k)S_4 = \sum_{k=0}^{n-6} \left(\frac{3 \cdot7^{k+1}}{2^k}\right) équivaut successivement à :
    S4=3∑k=0n−6(7k+12k)S_4 = 3\sum_{k=0}^{n-6} \left(\frac{7^{k+1}}{2^k}\right)
    S4=3∑k=0n−6(7k×72k)S_4 = 3\sum_{k=0}^{n-6} \left(\frac{7^{k}\times7}{2^k}\right)
    S4=(3×7)∑k=0n−6(7k2k)S_4 = \left(3\times7\right)\sum_{k=0}^{n-6} \left(\frac{7^{k}}{2^k}\right)
    S4=21∑k=0n−6(72)kS_4 =21 \sum_{k=0}^{n-6} \left(\frac{7}{2}\right)^k
    On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison 72\frac{7}{2} .
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S4=21×(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)S_4 = 21\times \left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    S4=21×(72)0×(1−(72)n−71−72)S_4 = 21\times \left(\frac{7}{2}\right)^0\times \left(\frac{1-\left(\frac{7}{2}\right)^{n-7}}{1-\frac{7}{2}}\right)
    S4=21×(1−(72)n−7−52)S_4 = 21\times \left(\frac{1-\left(\frac{7}{2}\right)^{n-7}}{-\frac{5}{2}}\right)
    S4=21×(−25)×(1−(72)n−7)S_4 = 21\times \left(-\frac{2}{5}\right)\times\left( 1-\left(\frac{7}{2}\right)^{n-7}\right)
    Ainsi :
    S4=−425×(1−(72)n−7)S_4 = -\frac{42}{5}\times\left( 1-\left(\frac{7}{2}\right)^{n-7}\right)
    Question 5

    Calculer la somme S5S_5 suivante : S5=∑k=n+32n+198S_5 = \sum_{k=n+3}^{2n+19} 8.

    Correction
    On constate que dans cette somme S5S_5, la quantité sommée, à savoir 8{\color{blue}{8}}, ne dépend pas de l'indice de sommation kk. On a alors :
    S5=∑k=n+32n+198=8×∑k=n+32n+31=8×(1+1+1+1+1+1+1+…+1+1+1)S_5 = \sum_{k=n+3}^{2n+19} {\color{blue}{8}} = {\color{blue}{8}} \times \sum_{k=n+3}^{2n+3} 1 = {\color{blue}{8}} \times (1+1+1+1+1+1+1+\ldots+1+1+1)
    Le chiffre 11 se répète (2n+19−(n+3)+1)\left(2n+19-\left(n+3\right)+1\right) fois c'est à dire n+17n+17
    Ce qui nous donne :
    S5=8×(n+17)S_5 = {\color{blue}{8}} \times \left(n+17\right)
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S5S_5 comprend n+17n+17 termes. Ici le plus grand indice est 2n+192n+19 , le plus petit indice est n+3n+3. Ainsi le nombre de termes est égale à : 2n+19−(n+3)+1=n+172n+19-\left(n+3\right)+1=n+17. Nous avons donc n+17n+17 termes.