Manipulations de sommes et de produits

Pour apprendre - Exercice 2

20 min
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Question 1

Calculer la somme SS suivante : S=k=26k2S=\sum_{k=2}^6 k^2

Correction
Il est important d'apprendre le sens du symbole de sommation discrète \sum (à bien différentier de celui de la sommation continue \int) et celui de produit \prod.
Lorsqu'une somme discrète apparait vous devez, en premier lieu, observer l'indice de sommation et bien déterminer les quantité qui dépende de ce dernier.
Par exemple, l'écriture suivante k=26k2\sum_{k=2}^6 k^2 signifie simplement que l'on va sommer la quantité k2k^2 en sommant sur les valeurs discrètes entières naturelles de kk, allant de 22 jusqu'à 66.
Ainsi, on obtient : k=26k2=22+32+42+52+62=4+9+16+25+36=90\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90. Vous voyez, c'est SIMPLE !!!
Question 2

Calculer la somme S1S_1 suivante : S1=k=093S_1 = \sum_{k=0}^9 3.

Correction
On constate que dans cette somme S1S_1, la quantité sommée, à savoir 3{\color{blue}{3}}, ne dépend pas de l'indice de sommation kk. On a alors :
S1=k=093=3×k=091=3×(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)S_1 = \sum_{k=0}^9 {\color{blue}{3}} = {\color{blue}{3}} \times \sum_{k=0}^9 1 = {\color{blue}{3}} \times (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)
Le chiffre 11 se répète (90+1)\left(9-0+1\right) fois.
Ce qui nous donne :
S1=3×(10)S_1 = {\color{blue}{3}} \times (10)
Finalement :
S1=30{\color{red}{\boxed{S_1 = 30}}}
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Question 3

    Calculer la somme S2S_2 suivante : S2=k=04i2S_2 = \sum_{k=0}^4 i^2.

    Correction
    On constate que dans cette somme S2S_2, la quantité sommée, à savoir i2{\color{blue}{i^2}}, ne dépend pas de l'indice de sommation kk. On a alors :
    S2=k=04i2=i2×k=041=i2×(1+1+1+1+1)S_2 = \sum_{k=0}^4 {\color{blue}{i^2}} = {\color{blue}{i^2}} \times \sum_{k=0}^4 1 = {\color{blue}{i^2}} \times (1+1+1+1+1)
    Le chiffre 11 se répète (40+1)\left(4-0+1\right) fois.
    Ce qui nous donne :
    S2=i2×(5)S_2 = {\color{blue}{i^2}} \times (5)
    Finalement :
    S2=5i2{\color{red}{\boxed{S_2 = 5i^2}}}
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Question 4

    Calculer la somme S3S_3 suivante : S3=k=141kS_3 = \sum_{k=1}^4 \dfrac{1}{k}.

    Correction
    On constate que dans cette somme S3S_3, la quantité sommée, à savoir 1k{\color{blue}{\dfrac{1}{k}}}, dépend de l'indice de sommation kk. On a alors :
    S3=k=141k=11+12+13+14S_3 = \sum_{k=1}^4 {\color{blue}{\dfrac{1}{k}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}
    Ce qui nous donne :
    S3=1+12+13+14=32+712=1812+712S_3 = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{18}{12} + \dfrac{7}{12}
    Finalement :
    S3=2512{\color{red}{\boxed{S_3 = \dfrac{25}{12}}}}
    Question 5

    Calculer la somme S4S_4 suivante : S4=k=05(14)kS_4 = \sum_{k=0}^5 \left(\dfrac{1}{4}\right)^k.

    Correction
    On constate que dans cette somme S4S_4, la quantité sommée, à savoir (14)k{\color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^k}}, dépend de l'indice de sommation kk. On a alors :
    S4=k=05(14)k=(14)0+(14)1+(14)2+(14)3+(14)4+(14)5S_4 = \sum_{k=0}^5 {\color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^k}} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^1 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^4 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^5
    On remarque qu'il s'agit d'une somme qui est constituée par les six premiers termes d'une suite geˊomeˊtrique{\color{blue}{\,\, \text{suite géométrique}}}, notée (un)nN(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, de premier terme u0=(14)0=1u_0 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1, et de raison q=14q = \dfrac{1}{4}. Ce qui nous donne :
    S4=u0×1q61q=1×1(14)6114S_4 = u_0 \times \dfrac{1-q^6}{1-q} = 1 \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^6}{1-\dfrac{1}{4}}
    Donc :
    S4=1164634=11409634=4095409634=40954096×43=40951024×13=13651024×11S_4 = \dfrac{1-\dfrac{1^6}{4^6}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1-\dfrac{1}{4096}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\dfrac{4095}{4096}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4095}{4096} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4095}{1024} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1365}{1024} \times \dfrac{1}{1}
    Finalement :
    S4=13651024{\color{red}{\boxed{S_4 = \dfrac{1365}{1024}}}}
    Question 6

    Calculer la somme S5S_5 suivante : S5=k=05(1k)kS_5 = \sum_{k=0}^5 \left(\dfrac{1}{k}\right)^k.

    Correction
    Cette somme S5S_5 n'existe pas ! En effet, le premier terme de cette sommation est (10)0\left(\dfrac{1}{0}\right)^0. Ce terme fait apparaitre une division par 00, et de fait ce terme n'existe pas !
    Finalement :
    S5R{\color{red}{\boxed{\nexists \, S_5 \in \mathbb{R}}}}
    Question 7

    Calculer le produit P1P_1 suivant : P1=k=093P_1 = \prod_{k=0}^9 3.

    Correction
    On constate que dans ce produit P1P_1, la quantité sommée, à savoir 3{\color{blue}{3}}, ne dépend pas de l'indice de sommation kk. On a alors :
    P1=k=093=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3P_1 = \prod_{k=0}^9 {\color{blue}{3}} = {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}}
    Ce qui nous donne :
    P1=310P_1 = {\color{blue}{3}}^{10}
    Finalement :
    P1=59049{\color{red}{\boxed{P_1 = 59049}}}
    Question 8

    Calculer le produit P2P_2 suivant : P2=k=13kk1P_2 = \prod_{k=1}^3 k^{k-1}.

    Correction
    On constate que dans ce produit P2P_2, la quantité produite, à savoir kk1{\color{blue}{k^{k-1}}}, dépend de l'indice de multiplication kk. On a alors :
    P2=k=13kk1=111×221×331P_2 = \prod_{k=1}^3 {\color{blue}{k^{k-1}}} = {\color{blue}{1^{1-1}}} \times {\color{blue}{2^{2-1}}} \times {\color{blue}{3^{3-1}}}
    Ce qui nous donne :
    P2=k=13kk1=10×21×32P_2 = \prod_{k=1}^3 {\color{blue}{k^{k-1}}} = {\color{blue}{1^0}} \times {\color{blue}{2^1}} \times {\color{blue}{3^2}}
    Soit encore :
    P2=k=13kk1=1×2×9P_2 = \prod_{k=1}^3 {\color{blue}{k^{k-1}}} = {\color{blue}{1}} \times {\color{blue}{2}} \times {\color{blue}{9}}
    Finalement :
    P2=18{\color{red}{\boxed{P_2 = 18}}}
    Question 9

    Soit nNn \in \mathbb{N}^\star. Calculer la somme S8S_8 suivante : S8=limn+k=0n(14)kS_8 = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty}\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{4}\right)^k.

    Correction
    On constate que dans cette somme S8S_8, la quantité sommée, à savoir (1n)k{\color{blue}{\left(\dfrac{1}{n}\right)^k}}, dépend de l'indice de sommation kk. On a alors :
    S8=limn+((14)0+(14)1+(14)2+(14)3++(14)n1+(14)n)S_8 = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty} \left( \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^1 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 + \cdots + \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \right)
    On remarque que l'expression dans la parenthèse est une somme qui est constituée par n+1n+1 termes d'une suite geˊomeˊtrique{\color{blue}{\,\, \text{suite géométrique}}}, notée (un)nN(u_n)_{n\in \mathbb{N}}, de premier terme u0=(14)0=1u_0 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1, et de raison q=14q = \dfrac{1}{4}. Ce qui nous donne :
    S8=limn+(u0×1qn+11q)=limn+(1×1(14)n+1114)S_8 = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty} \left(u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right) = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty} \left(1 \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}} \right)
    Donc :
    S8=1limn+(14)n+1114S_8 = \dfrac{1- \displaystyle{\lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty}} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}}
    Comme 14<1\dfrac{1}{4} < 1 alors limn+(14)n+1=0\displaystyle{\lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty}} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1} = 0. Ainsi :
    S8=10114=1114=134S_8 = \dfrac{1- 0}{1-\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}
    Finalement :
    S8=43{\color{red}{\boxed{S_8 = \dfrac{4}{3}}}}