Lorsque l'on nous demande d'étudier la nature d'une suite, il faut indiquer si la suite est convergente ou divergente.
On définit, pour tout entier naturel
n la suite
(un) par :
un=n2+1n+n2+2n+⋯+n2+nnNous pouvons donc écrire que :
un=k=1∑nn2+kn Or :
1≤k≤nn2+1≤n2+k≤n2+n n2+11≥n2+k1≥n2+n1 n2+n1≤n2+k1≤n2+11 n2+nn≤n2+kn≤n2+1n k=1∑nn2+nn≤k=1∑nn2+kn≤k=1∑nn2+1n k=1∑nn2+nn≤un≤k=1∑nn2+1n Soit α un réel . Pour tout entier naturel n, on a :- k=0∑nα=(n+1)α ou encore k=1∑nα=nα
n×n2+nn≤un≤n×n2+1n n2+nn2≤un≤n2+1n2 D’une part :n→+∞limn2+nn2=n→+∞limn2n2=1D’autre part :n→+∞limn2+1n2=n→+∞limn2n2=1D'après le théorème des gendarmes
n→+∞limun=1 La suite
(un) converge vers
1 .