Les suites

$${\color{red}{\blacksquare \,\, \bf{Généralités}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, \bf{Définition \,\, d'une \,\, suite}}}$$
Une suite numérique est une application $$u$$ de $$\mathbb{N}$$, éventuellement privé d'un nombre fini d'éléments, dans $$\mathbb{R}$$ (ou dans $$\mathbb{C}$$ pour des suites à valeurs complexes).
On note par $$u_n$$, à la place de $$u(n)$$, le $$\textbf{terme général}$$, et $$(u_n)$$ la suite.
Une suite est souvent donnée par son terme général, ou par une relation de récurrence permettant de calculer $$u_n$$ de proche en proche, mais aussi par la connaissance de la valeur de son $$\textbf{premier terme}$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \,\, \bf{Suite \,\, monotone}}}$$
Une suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{stationnaire}}}$$ si, et seulement si : $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} = u_n$$.
Une suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{croissante}}}$$ si, et seulement si : $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} \geqslant u_n$$.
Une suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{décroissante}}}$$ si, et seulement si : $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} \leqslant u_n$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Suite \,\, bornée}}}$$
Une suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{majorée}}}$$ s'il existe $$M$$ tel que : $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} \leqslant M$$.
Une suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{ninorée}}}$$ s'il existe $$m$$ tel que : $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} \geqslant m$$.
Une suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{bornée}}}$$ si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe $$M$$ tel que : $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} \leqslant |M|$$ que que soit la valeur de $$n \in \mathbb{N}$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Suite \,\, convergente}}}$$
On dit que la suite $$(u_n)$$ converge (ou tend) vers une limite $$\ell$$, et on note $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = \ell$$, si et seulement si :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \exist n_0 \in \mathbb{N}, \,\, \forall n \geqslant n_0, \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, |u_n- \ell| < \varepsilon$$
Dans ce cas, on dit que $$(u_n)$$ est $$\textbf{convergente}$$.
Une suite qui n'est pas convergente est qualifiée de suite $$\textbf{divergente}$$.
Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite de nombres réels (ou complexes) est unique.
La suppression d'un nombre fini de termes ne modifie pas la nature de la suite, ni son éventuelle limite.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Limites \,\, infinies}}}$$
On dit qu'une suite de réels $$(u_n)$$ tends vers $$+\infty$$ si :
$$\forall A > 0, \,\, \exist n_0 \in \mathbb{N}, \,\, \forall n \geqslant n_0, \,\, \left( n \geqslant n_0 \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( u_n > A \right)$$
On dit qu'une suite de réels $$(u_n)$$ tends vers $$-\infty$$ si :
$$\forall B > 0, \,\, \exist n_0 \in \mathbb{N}, \,\, \forall n \geqslant n_0, \,\, \left( n \geqslant n_0 \right) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( u_n < -B \right)$$
Dans ces deux cas, il s'agit de suites divergentes particulières.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Opérations \,\, sur \,\, les \,\, suites \,\, convergentes}}}$$
$${\color{green}{\blacklozenge \,\, \bf{Combinaisons \,\, linéaires}}}$$
On désigne par $$\lambda_1$$ et $$\lambda_2$$ deux nombres réels. Si $$(u_n)$$ converge vers $$\ell_1$$ et $$(v_n)$$ converge vers $$\ell_2$$ alors $$(\lambda_1 u_n + \lambda_2 v_n)$$ converge vers $$\lambda_1 \ell_1 + \lambda_2 \ell_2$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Produit}}}$$
Si $$(u_n)$$ converge vers $$\ell_1$$ et $$(v_n)$$ converge vers $$\ell_2$$ alors la suite $$(u_n \times v_n)$$ converge vers $$\ell_1 \times \ell_2$$.
Si $$(u_n)$$ converge vers $$0$$ et $$(v_n)$$ est bornée alors la suite $$(u_n \times v_n)$$ converge vers $$0$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Quotient}}}$$
Si $$(u_n)$$ converge vers $$\ell_1$$ et $$(v_n)$$ converge vers $$\ell_2 \neq 0$$ alors la suite $$\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$$ converge vers $$\dfrac{\ell_1}{\ell_2}$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Relation \,\, d'ordre}}}$$
Si $$(u_n)$$ converge vers $$\ell_1$$ et $$(v_n)$$ converge vers $$\ell_2$$, et que $$u_n \leqslant v_n$$ pour tout $$n$$, alors $$\ell_1 \leqslant \ell_2$$.
$${\color{red}{\bigstar \,\, \bf{Théorème \,\, de \,\ l'encadrement}}}$$
Si les deux suites $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ convergent convergent vers la même limite $$\ell$$ et si $$u_n \leqslant w_n \leqslant v_n$$ pour tout $$n$$, alors la suite $$(w_n)$$ est convergente et converge vers $$\ell$$.
$${\color{red}{\blacksquare \blacksquare \,\, \bf{Relations \,\, de \,\, comparaison}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, \bf{Définitions }}}$$
Soient $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ deux suites numériques.
$${\color{green}{\blacklozenge \,\, \bf{Domination}}}$$
On dit que $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{dominée}}}$$ par $$(v_n)$$ s'il existe $$A>0$$ tel que $$|u_n| \leqslant A|v_n|$$ pour tout $$n$$. On note ceci comme $$u_n = O(v_n)$$ ou $$u_n \preccurlyeq v_n$$.
Si les $$v_n$$ sont tous non nuls, cela signifie que $$\left( \dfrac{u_n}{v_n} \right)$$ est bornée.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Négligeabilité}}}$$
On dit que $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\bf{négligeable}}}$$ devant $$(v_n)$$ si, pour tout $$\varepsilon > 0$$, il existe $$n_0 \in \mathbb{N}$$ tel que, pour tout $$n \geqslant n_0$$, on ait $$|u_n| \leqslant \varepsilon |v_n|$$. On note ceci comme $$u_n = o(v_n)$$ ou $$u_n \ll v_n$$.
Si les $$v_n$$ sont tous non nuls, cela signifie que $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{u_n}{v_n} \right) = 0$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Equivalence}}}$$
On dit que $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ sont $${\color{red}{\bf{équivalentes}}}$$ si on a $$u_n - v_n = o(v_n)$$. On a alors, à partir d'un certain rang, $$u_n = t_n \times v_n$$ avec $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} t_n = 1$$.
On note ceci comme $$u_n \sim v_n$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \,\, \bf{Propriétés }}}$$
$${\color{green}{\blacklozenge \,\,}}$$ Si $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ sont deux suites de nombres réels strictement positifs, et si, à partir d'un certain rang, on a $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \dfrac{v_{n+1}}{v_n}$$ alors on a $$u_n = O(v_n)$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \,\,}}$$ Si $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ sont équivalentes, alors ces suites sont de même nature et ont même limites si elles convergent.
De plus, on a les propriétés suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} |u_n| & \sim & |v_n| \\ u_n \times w_n & \sim & v_n \times w_n \end{array} \right.$$
Il faut bien faire attention à ne pas faire usage de l'addition ! C'est bien la multiplication.
Sous réserve que $$u_n$$ et $$v_n$$ soient non nuls on a $$\dfrac{1}{u_n} \sim \dfrac{1}{v_n}$$
Sous réserve que $$u_n$$ et $$v_n$$ soient strictement positifs on a $$u_n^p \sim v_n^p$$
En outre, si $$u_n \longrightarrow 0$$, ou si $$u_n \longrightarrow +\infty$$, alors $$\ln(u_n) \sim \ln(v_n)$$, mais attention car en général on n'a pas $$e^{u_n} \sim e^{v_n}$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{Exemples fondamentaux }}}$$
Pour $$k > 1$$, $$a > 0$$ et $$b > 0$$, on a :
* $$k^n$$ est négligeable devant $$n !$$ ;
** $$n^a$$ est négligeable devant $$k^n$$, et par conséquence devant $$n !$$ ;
*** $$\left( \ln(n) \right)^b$$ est négligeable devant $$n^a$$, et par conséquence devant $$k^n$$ et $$n !$$.
$${\color{red}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, \bf{Existence \,\, de \,\, limite}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, \bf{Convergence \,\, des \,\, suites \,\, monotones }}}$$
$$- \,\,$$ Toute suite croissante ET majorée est convergente.
$$- \,\,$$ Toute suite croissante ET non majorée tend vers $$+\infty$$.
$$- \,\,$$ Toute suite décroissante ET minorée est convergente.
Il faut faire attention au fait que si $$(u_n)$$ est croissante ET si $$u_n \leqslant M$$ pour tout $$n$$, alors vous pouvez uniquement affirmer que $$(u_n)$$ converge vers $$\ell$$ avec $$\ell \leqslant M$$.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \,\, \bf{Suites \,\, adjacentes }}}$$
Deux suites $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ sont dites $${\color{red}{\bf{adjacentes}}}$$ si $$(u_n)$$ est croissante, $$(v_n)$$ est décroissante et si $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} (u_n - v_n) = 0$$.
Cette définition entraine que l'on a $$u_n \leqslant v_n$$ pour tout $$n$$, et que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.
Dans la pratique, il est assez facile de montrer que $$(u_n)$$ est croissante et que $$(v_n)$$ est décroissante, mais plus difficile de démontrer que$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} (u_n - v_n) = 0$$.
Dans ce cas, essayez de vérifier que $$u_n \leqslant v_n$$ pour tout $$n$$. Dans ce cas la suite $$(u_n)$$ est croissante et majorée par le terme $$(v_0)$$. De fait la suite $$(u_n)$$ est convergente vers $$\ell_1$$. Puis, la suite $$(v_n)$$ est décroissante et minorée par le terme $$(u_0)$$. De fait la suite $$(v_n)$$ est convergente vers $$\ell_2$$. Si vous arrivez à prouver que $$\ell_1 = \ell_2$$ alors les deux suites $$(u_n)$$ et $$(v_n)$$ sont adjacentes.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \,\, \bf{ Suites \,\, extraites }}}$$
$${\color{green}{\blacklozenge \,\, \bf{Définition }}}$$
Une suite $$(v_n)$$ est dite $${\color{red}{\bf{extraite}}}$$ d'une suite $$(u_n)$$ si elle est définie par $$v_n = u_{h(n)}$$ où $$h$$ est une application strictement croissante de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{N}$$. On dit aussi que $$(v_n)$$ est une sous-suite de $$(u_n)$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{propriétés }}}$$
Si $$(u_n)$$ est une suite convergente dont la limite est égale à $$\ell$$, alors toute suite extraite est aussi convergente vers $$\ell$$.
Ceci entraîne que si deux suites extraites de $$(u_n)$$ ont des limites distinctes, alors $$(u_n)$$ est divergente.
Mais si deux suites extraites ont la même limite $$\ell$$, on ne peut rien affirmer, sauf si les valeurs des deux suites extraites recouvrent tous les $$u_n$$. Dans ce cas, on pourra affirmer que la suite $$(u_n)$$ converge vers $$\ell$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Théorème \,\, de \,\, BOLZANO-WEIERSTRASS }}}$$
$${\color{green}{\bf{De \,\, toute \,\, suite \,\, bornée \,\, on \,\, peut \,\, extraire \,\, une \,\, sous-\,\, suite \,\, convergente.}}}$$
$${\color{red}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, \bf{Suites \,\, récurentes}}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \,\, \bf{Suites \,\, récurentes \,\, }} u_{n+1} = f(u_n) }$$

Pour étudier une suite de ce type, déterminer un segment $$I$$vqui contient toutes les valeurs de la suite. Puis, étudiez les variations de $$f$$ sur $$I$$. Ensuite étudiez la position du graphe de $$f$$ par rapport à la droite $$y=x$$ (la première bissectrice).
$${\color{green}{\blacklozenge \,\, \bf{Théorème \,\, 1 }}}$$
Si la suite $$(u_n)$$ est convergente vers $$\ell$$ et si $$f$$ est continue, alors $$\ell$$ vérifie : $$\ell = f(\ell)$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Théorème \,\, 2 }}}$$
Si $$f$$ est croissante sur $$I$$, alors la suite $$(u_n)$$ est monotone. La comparaison de $$u_0$$ et $$u_1$$ permet de savoir si elle est croissante ou décroissante.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \,\, \bf{Théorème \,\, 3 }}}$$
Si $$f$$ est décroissante sur $$I$$, alors les deux suites extraites $$(u_{2n})$$ et $$(u_{2n+1})$$ sont monotones et de sens contraire. Cherchez alors à savoir si $$(u_{2n})$$ et $$(u_{2n+1})$$ sont adjacentes ou non.
$${\color{blue}{\,\,\,\,\,\,\,\, \bullet \bullet \,\, \bf{Suites \,\, récurentes \,\, linéaires \,\, du \,\, second \,\, ordre}}}$$
Une telle suite est déterminée par une relation du type :
$$(Equation \, 1) \,\,\,\,\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\, a \, u_{n+2} + b \, u_{n+1} + c \, u_{n} = 0 \,\,\,\, \mathrm{avec} : a \neq 0$$
et la connaissance des deux premiers termes $$u_0$$ et $$u_1$$.
L'étude de ces suites est de nature algébrique et en voici les principaux résultats.
$${\color{green}{\blacklozenge \,\, }}$$ L'ensemble des suites réelles qui vérifient $$(Equation \, 1)$$ est un $$\mathbb{R}-$$espace vectoriel de dimension $$2$$. On en cherche une base par la résolution de l'équation caractéristique :
$$a \, r^2 + b \, r + c = 0$$
Et on note $$\Delta = b^2 - 4ac$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \,\,}}$$ Si $$\Delta > 0$$ alors cette équation caractéristique à deux racines réelles $$r_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$r_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$ distinctes. Dans ce cas on a :
$$u_n = K_1 \, r_1^n + K_2 \, r_2^n$$
où $$K_1$$ et $$K_2$$ sont deux constantes que l'on exprime en fonction de $$u_0$$ et $$u_1$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \,\, }}$$ Si $$\Delta = 0$$ alors cette équation caractéristique à une racine double réelle $$r_0 = \dfrac{-b}{2a}$$ et $$r_2$$ distinctes. Dans ce cas on a :
$$u_n = \left( K_1 + K_2 \, n \right) \, r_0^n$$
où $$K_1$$ et $$K_2$$ sont deux constantes à calculer en fonction de $$u_0$$ et $$u_1$$.
$${\color{green}{\blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \blacklozenge \,\,}}$$ Si $$\Delta < 0$$ alors cette équation caractéristique à deux racines complexes conjuguées l'une de l'autre, $$r_1 = \alpha + i \beta$$ et $$r_2 = \alpha - i \beta$$. On va écrire ces deux racines complexes conjuguées l'une de l'autre sous leur forme trigonométrique, à savoir $$r_1 = \rho \, e^{i \theta}$$ et $$r_2 = \rho \, e^{-i \theta}$$. Dans ce cas on a (au choix) :
$$u_n = \rho^n \left( K_1 \cos(n\theta) + K_2 \sin( n\theta) \right) = \rho^n A \cos \left( n\theta - \varphi \right)$$
où $$K_1$$ et $$K_2$$ sont deux constantes que l'on exprime en fonction de $$u_0$$ et $$u_1$$ et c'est la même chose pour les deux autres constantes $$A$$ et $$\varphi$$.
$${\color{red}{\blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \blacksquare \,\, \bf{Suites \,\, de \,\, nombres \,\, complexes}}}$$
On pose $$i$$ tel que $$i^2 = -1$$.
Soit $$z_n = x_n + i \, y_n$$. La définition de la convergence de $$(z_n)$$ vers $$\ell = a + i \, b$$ est la même que pour les suites réelles mais il faut remplacer la valeur absolue par le module.
La convergence de $$(z_n)$$ vers $$\ell$$ est équivalente à la fois à celle de $$(x_n)$$ vers $$a$$ et celle de $$(y_n)$$ vers $$b$$.
Les opérations algébriques sur les limites de suites convergentes sont les mêmes que dans le cas des suites réelles.
Attention à bien se souvenir que le symbole $$\leqslant$$ n'a pas de sens dans $$\mathbb{C}$$. En effet, dans $$\mathbb{C}$$ l'ordre n'existe pas.