Exercice 9 : les suites adjacentes - Exercice 3

On va commencer par démontrer que les nombres $$u_n$$ et $$v_n$$ sont positifs. Pour cela réalisons une démonstration par récurrence.
Pour cela notons par $$P_n$$ la propriétés suivante :
$$P_n : \,\, u_n > 0 \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, v_n > 0$$
$${\color{blue}{\bullet \,\, \textbf{Initialisation}}}$$
Par hypothèse, on sait que :
$$v_0 > u_0 > 0$$
Ceci implique que :
$$P_0 : \,\, u_0 > 0 \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, v_0 > 0$$
Donc la propriété est bien initialisée au rang initial $$n=0$$.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \textbf{Transmission}}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$.
Supposons que $$P_n$$ soit vérifiée. Ainsi on a :
$$P_n : \,\, u_n > 0 \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, v_n > 0$$
De fait on a
$$u_{n+1} = \sqrt{u_n \, v_n} > 0 \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} > 0$$
Donc :
$$P_{n+1} : \,\, u_{n+1} > 0 \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, v_{n+1} > 0$$
Donc, si la propriété $$P_n$$ est vérifiée alors la propriété $$P_{n+1}$$ est également vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on sait que pour tout nombre entier naturel $$n$$ on a la propriété $$P_n$$ qui est vérifiée, à savoir que les deux nombres $$u_n$$ et $$v_n$$ sont positifs.
En outre, on a :
$$v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} - \sqrt{u_n \, v_n}$$
Soit :
$$v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} - \dfrac{2\sqrt{u_n \, v_n}}{2}$$
Soit encore :
$$v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n - 2\sqrt{u_n \, v_n}}{2}$$
Donc :
$$v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{\sqrt{u_n}^2 + \sqrt{v_n}^2 - 2\sqrt{u_n} \sqrt{v_n}}{2}$$
On a alors :
$$v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{\left( \sqrt{u_n} - \sqrt{v_n} \right)^2}{\sqrt{2}^2}$$
Ainsi :
$$v_{n+1} - u_{n+1} = \left( \dfrac{\sqrt{u_n} - \sqrt{v_n} }{\sqrt{2}} \right)^2 \geqslant 0$$
On peut donc en conclure que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, v_n \geqslant u_n$$.
Étudions maintenant le sens de variation de la suite $$(u_n)$$. On a alors :
$$u_{n+1} - u_{n} = \sqrt{u_n \, v_n} - u_n$$
Soit :
$$u_{n+1} - u_{n} = \sqrt{u_n}\sqrt{v_n} - \sqrt{u_n}\sqrt{u_n}$$
Soit encore :
$$u_{n+1} - u_{n} = \sqrt{u_n} \left( \sqrt{v_n} - \sqrt{u_n} \right)$$
Or on sait que $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, v_n \geqslant u_n$$. De plus la fonction racine carrée conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$. Donc on en déduit que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, \sqrt{v_n} \geqslant \sqrt{u_n} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sqrt{v_n} - \sqrt{u_n} \geqslant 0$$
De plus on sait que, pour tout nombre entier naturel $$n$$, les deux nombres $$u_n$$ et $$v_n$$ sont positifs. Donc pour tout nombre entier naturel $$n$$, les deux nombres $$\sqrt{u_n}$$ et $$\sqrt{v_n}$$ sont également positifs.
On en déduit alors que :
$$u_{n+1} - u_{n} = \sqrt{u_n} \left( \sqrt{v_n} - \sqrt{u_n} \right) \geqslant 0$$
D'où :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_{n+1} \geqslant u_{n}$$
Donc la suite $$(u_n)$$ est croissante.
Étudions maintenant le sens de variation de la suite $$(v_n)$$. On a alors :
$$v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_n + v_n}{2} - v_n$$
Soit :
$$v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_n + v_n}{2} - \dfrac{2v_n}{2}$$
Soit encore :
$$v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_n + v_n - 2 v_n}{2}$$
D'où :
$$v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_n - v_n}{2}$$
Or on sait que $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, v_n \geqslant u_n$$. Donc :
$$v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{u_n - v_n}{2} \leqslant 0$$
Ce qui revient à écrire que :
$$v_{n+1} - v_{n} \leqslant 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, v_{n+1} \leqslant v_{n}$$
Donc la suite $$(v_n)$$ est décroissante.
Ainsi on en déduit que, puisque pour tout nombre entier naturel $$n$$ on a $$u_n \leqslant v_n$$, l'on a les conclusions suivantes :
$$\clubsuit \,\,$$ la suite $$(u_n)$$ est croissante et majorée par $$v_0$$, donc cette suite $$(u_n)$$ est convergente et sa limite est $$\ell_1 \in \mathbb{R}$$ ;
$$\clubsuit \clubsuit \,\,$$ la suite $$(v_n)$$ est décroissante et minorée par $$u_0$$, donc cette suite $$(u_n)$$ est convergente et sa limite est $$\ell_2 \in \mathbb{R}$$.
De fait, on peut affirmer que la suite $$\left( \dfrac{u_n + v_n}{2} \right)$$ est également convergente et sa limite est $$\dfrac{\ell_1 + \ell_2}{2}$$. Ceci est parfaitement équivalent de dire que la suite $$(v_{n+1})$$ converge vers cette même limite $$\dfrac{\ell_1 + \ell_2}{2}$$.
Cependant, on sait que $$(v_{n+1})$$ et $$(v_{n})$$ on même limite et $$(v_{n})$$ à pour limite $$\ell_2$$. Ceci nous permet d'écrire que :
$$\dfrac{\ell_1 + \ell_2}{2} = \ell_2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\ell_1}{2} + \dfrac{\ell_2}{2} = \dfrac{\ell_2}{2} + \dfrac{\ell_2}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\ell_1}{2} = \dfrac{\ell_2}{2}$$
Ceci implique immédiatement que $$\ell_1 = \ell_2$$.
De fait, pour conclure, on peut donc affirmer que les deux suites $$\left(u_n\right)$$ et $$\left(v_n\right)$$ sont adjacentes.