Deux suites
(un)n∈N et
(vn)n∈N sont dites adjacentes si et seulement si :
l'une est croissante l'autre est décroissante n→+∞lim(un−vn)=0 Remarque : Si
(un)n∈N et
(vn)n∈N sont adjacentes alors elles convergent en une même limite
ℓ .
Étudions les variations de la suite (un).un+1−un=1+(n+1)!1−(1+n!1) un+1−un=1+(n+1)!1−1−n!1 un+1−un=(n+1)!1−n!1 un+1−un=(n+1)!1−n!×(n+1)n+1 un+1−un=(n+1)!1−n−1 un+1−un=(n+1)!−n On rappelle que
n est un entier naturel, de ce fait
−n≤0 ainsi
un+1−un≤0.
Il en résulte donc que la suite
(un) est décroissante.
Étudions les variations de la suite (vn).vn+1−vn=n+2n+1−n+1n vn+1−vn=(n+2)(n+1)(n+1)(n+1)−(n+1)(n+2)n(n+2) vn+1−vn=(n+2)(n+1)(n+1)2−n(n+2) vn+1−vn=(n+2)(n+1)n2+2n+1−n2−2n vn+1−vn=(n+2)(n+1)1 Il s'ensuit donc que pour tout entier naturel
n, on a bien :
vn+1−vn≥0Il en résulte donc que la suite
(vn) est décroissante.
n→+∞lim(un−vn)=n→+∞lim(1+n!1−n+1n)On vérifie facilement que :
n→+∞limvn=n→+∞lim(1+n!1)=1 et
n→+∞limun=n→+∞limn+1n=n→+∞limnn=1Finalement :
n→+∞lim(un−vn)=0 De fait, pour conclure, on peut donc affirmer que les deux suites
(un) et
(vn) sont adjacentes.