Exercice 7 - Exercice 1

La définition de la suite $$(u_n)$$ permet d'écrire que $$u_{n+1} = \sqrt{2u_n}$$ avec $$u_1 = \sqrt{2}$$.
Puis dans l'hypothèse que cette suite $$(u_n)$$ soit réellement convergente et que sa limite soit $$\ell$$, cette dernière devrait vérifier (car $$x \longmapsto \sqrt{2x}$$ est continue sur $$\mathbb{R}^+$$) $$\ell = \sqrt{2\ell}$$ ce qui nous donne $$\ell = 0$$ qui n'est pas possible et $$\ell = 2$$.
Donc nous sommes invité à vérifier par récurrence l'hypothèse $$P_n$$ suivante :
$$P_n \, : \,\, \sqrt{2} \leqslant u_n < 2$$.
$${\color{blue}{\bullet \,\, \textbf{Initialiation}}}$$
Soit $$n = 1$$, donc $$u_1 = \sqrt{2}$$. On constate que :
$$P_1 \, : \,\, \sqrt{2} \leqslant u_1 < 2$$
Ainsi $$P_1$$ est effectivement vérifiée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\, \textbf{Transmission}}}$$
Supposons maintenant que $$P_n \, : \,\, \sqrt{2} \leqslant u_n < 2$$ soit effectivement vérifiée. On a alors :
$$u_{n+1} = \sqrt{2u_n} = \sqrt{2} \times \sqrt{u_n}$$
Mais comme $$\sqrt{2} \leqslant u_n < 2$$ on en déduit alors (puisque la racine carrée conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$) que $$\sqrt{\sqrt{2}} \leqslant \sqrt{u_n} < \sqrt{2}$$. De fait, on obtient :
$$\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2}} \leqslant \sqrt{2}\sqrt{u_n} < \sqrt{2} \sqrt{2}$$
Soit :
$$\sqrt{2\sqrt{2}} \leqslant \sqrt{2u_n} < \sqrt{2 \times 2}$$
Soit encore :
$$\sqrt{2\sqrt{2}} \leqslant u_{n+1} < \sqrt{4}$$
Donc :
$$\sqrt{2\sqrt{2}} \leqslant u_{n+1} < 2$$
Cependant on constate que $$\sqrt{2} \leqslant \sqrt{2\sqrt{2}}$$. Donc on va pouvoir écrire que :
$$\sqrt{2} \leqslant u_{n+1} < 2$$
Finalement, on constate que l'on a :
$$P_{n+1} \, : \,\, \sqrt{2} \leqslant u_{n+1} < 2$$
Donc, sous la condition que $$P_n$$ soit effectivement vérifiée cela implique que $$P_{n+1}$$ l'est également.
L'hérédité est donc assurée.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
Finalement, en vertu des axiomes de la récurrence, on a bien démontré que $$\forall n \in \mathbb{N}^\star$$
la propriété $$P_n \, : \,\, \sqrt{2} \leqslant u_n < 2$$ est bien vérifiée.
Ainsi nous venons de démontrer que la suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\textbf{bornée}}}$$.
Il nous reste à montrer que cette suite $$(u_n)$$ est monotone. Pour cela nous allons étudier le signe du terme $$u_{n+1} - u_n$$, et ceci $$\forall n \in \mathbb{N}^\star$$. On a :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, u_{n+1} - u_n = \sqrt{2u_n} - u_n = \sqrt{2}\sqrt{u_n} - \sqrt{u_n} \times \sqrt{u_n}$$
Donc :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} - \sqrt{u_n} \right)$$
Or, on a montré que $$\sqrt{\sqrt{2}} \leqslant \sqrt{u_n} < \sqrt{2}$$. Ceci implique que $$\sqrt{u_n} > 0$$ mais également que $$\sqrt{2} - \sqrt{u_n} \leqslant 0$$. De fait, on en déduit que :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, u_{n+1} - u_n > 0$$
Ainsi la suite $$(u_n)$$ est $${\color{red}{\textbf{croissante}}}$$. Comme cette même suite $$(u_n)$$ est également $${\color{red}{\textbf{bornée}}}$$ on en déduit qu'elle est donc $${\color{red}{\textbf{convergente}}}$$. Notons par $$\ell$$ cette limite réelle.
Comme la la fonction numérique réelle $$x \longmapsto \sqrt{2x}$$ est continue sur $$\mathbb{R}^+$$ on en déduit donc que cette limite $$\ell$$ satisfait à l'égalité $$\ell = \sqrt{2\ell}$$, soit $$\ell^2 = 2 \ell$$. On a alors :
$$\ell^2 - 2\ell = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ell \left( \ell - 2 \right) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, (\ell - 0) \left( \ell - 2 \right) = 0$$
Ce qui nous donne $$\ell = 0$$ qui n'est pas possible et $$\ell = 2$$.
En conclusion, la suite $$(u_n)$$ réelle étudiée est convergente et sa limite est $$2$$.