Exercice 3 - Exercice 1

A l'aide de l'expression conjuguée, on a :
$$u_ n = n - \sqrt{(n+a)(n+b)} = n - \sqrt{(n+a)(n+b)} \times \dfrac{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}}{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}} = \dfrac{n^2 - \sqrt{(n+a)(n+b)}^2}{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}}$$
Donc :
$$u_ n = \dfrac{n^2 - (n+a)(n+b)}{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}}$$
En développant, on obtient :
$$u_ n = \dfrac{n^2 - n^2- na -nb - ab}{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}}$$
En simplifiant :
$$u_ n = \dfrac{- na -nb - ab}{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}}$$
D'où :
$$u_ n = \dfrac{- n(a+b) - ab}{n + \sqrt{(n+a)(n+b)}} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, u_ n = \dfrac{-n(a+b) - ab}{n + n\sqrt{\left(\dfrac{n+a}{n} \right) \left(\dfrac{n+b}{n} \right)}}$$
En factorisant par $$n$$ on obtient :
$$u_ n = \dfrac{n\left( - (a+b) - \dfrac{ab}{n} \right)}{n\left( 1 + \sqrt{\left(\dfrac{n+a}{n} \right) \left(\dfrac{n+b}{n} \right)} \right)}$$
Comme $$n$$ est différent de $$0$$ on obtient :
$$u_ n = \dfrac{ - (a+b) - \dfrac{ab}{n} }{ 1 + \sqrt{\left(1+\dfrac{a}{n} \right) \left(1+\dfrac{b}{n} \right)}}$$
En effectuant le passage à la limite lorsque $$n$$ tend vers $$+\infty$$, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_ n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{ - (a+b) - \dfrac{ab}{n} }{ 1 + \sqrt{\left(1+\dfrac{a}{n} \right) \left(1+\dfrac{b}{n} \right)}} = \dfrac{ - (a+b) - 0^+ }{ 1 + \sqrt{\left(1+0^+ \right) \left(1+0^+ \right)}} = \dfrac{ - (a+b) }{ 1 + \sqrt{\left(1\right) \left(1 \right)}} = \dfrac{ - (a+b) }{ 1 + \sqrt{1}}$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_ n = - \dfrac{a+b}{2}$$
Finalement, la suite $$(u_n)$$ converge et sa limite est $$\ell = - \dfrac{a+b}{2}$$.