Exercice 16 - Exercice 1

On a :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, |u_n| = \left| \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right)^n \right| = \left| 1 + \dfrac{z}{n} \right|^n = \left| 1 + \dfrac{x + i \, y}{n} \right|^n = \left| 1 + \dfrac{x}{n} + i \, \dfrac{y}{n}\right|^n = \left| \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) + i \, \left( \dfrac{y}{n} \right) \right|^n$$
Avec :
$$\left| \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) + i \, \left( \dfrac{y}{n} \right) \right| = \sqrt{ \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right)^2 + \left( \dfrac{y}{n} \right)^2 } = \left( 1 + 2\dfrac{x}{n} + \dfrac{x^2}{n^2} + \dfrac{y^2}{n^2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)^{\frac{1}{2}}$$
D'où :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, |u_n| = \left| \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) + i \, \left( \dfrac{y}{n} \right) \right|^n = \left( \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^n$$
Finalement :
$$\forall n \in \mathbb{N}^\star, \,\, |u_n| = \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)^{\frac{n}{2}}$$

On a :
$$\ell = \lim_{n \longrightarrow +\infty} |u_n| = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)^{\frac{n}{2}}$$
Comme l'exposant est variable, selon la limite souhaitée, nous allons introduire le logarithme népérien afin de transformer cette puissance $$\frac{n}{2}$$ en produit (donc plus simple à manipuler). On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln \left( |u_n| \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln \left( \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)^{\frac{n}{2}} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{n}{2} \ln \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)$$
On constate alors que $$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right) = 0$$. Ceci implique que l'expression $$\ln \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)$$ à la même limite, lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$, que $$\dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2}$$. Ainsi, on peut écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln \left( |u_n| \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{n}{2} \ln \left( 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{n}{2} \left( \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{n}{2}\dfrac{2x}{n} + \dfrac{n}{2}\dfrac{x^2+y^2}{n^2} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln \left( |u_n| \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( x + \dfrac{x^2+y^2}{2n} \right) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( x \right) + \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{x^2+y^2}{2n} \right) = x + \dfrac{x^2+y^2}{2} \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Soit :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \ln \left( |u_n| \right) = x + \dfrac{x^2+y^2}{2} \times 0^+ = x + 0 = x$$
Finalement, par introduction de l'exponentielle, on peut conclure que :
$$\ell = \lim_{n \longrightarrow +\infty} |u_n| = e^x$$

On se positionne dans le cas ou le nombre entier naturel $$n$$ devient très grand devant sa première valeur possible $$1$$. Dans ce cas, la partie réelle de $$1 + \dfrac{z}{n}$$, qui est $$1 + \dfrac{x}{n}$$, deviendra nécessairement positive. Dans ce cas, on aura obligatoirement :
$$\theta_n = \arg \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right) \in \left] - \dfrac{\pi}{2} \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right[$$.
Puis, le module $$r_n = \left| 1 + \dfrac{z}{n} \right| = \sqrt{ 1 + \dfrac{2x}{n} + \dfrac{x^2+y^2}{n^2} }$$ va tendre vers $$1$$ lorsque lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$ :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} r_n = 1$$
On sait également que :
$$1 + \dfrac{z}{n} = \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) + i \, \left( \dfrac{y}{n} \right) = r_n \, e^{i \, \theta_n} = r_n \, \left( \cos(\theta_n) + i \, \sin(\theta_n) \right) = r_n \, \cos(\theta_n) + i \, r_n \, \sin(\theta_n)$$
Donc $$r_n \, \sin(\theta_n) = \dfrac{y}{n}$$. Ceci implique que $$\sin(\theta_n) = \dfrac{y}{n r_n}$$. Ainsi, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \sin(\theta_n) = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{y}{n r_n} = y \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n r_n} = y \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n \times 1} = y \lim_{n \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = y \times 0^+ = 0$$
Cependant, on sait que lorsque le réel $$X$$ tend vers $$0$$, $$\sin(X)$$ est équivalent à $$X$$. Autrement dit, lorsque $$X \longrightarrow 0$$, les deux expressions $$\sin(X)$$ et $$X$$ ont des comportements similaires. On note ceci par $$\sin(X) \underset{0}{\sim} X$$.
Ainsi, lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$, nous avons :
$$\sin(\theta_n) \underset{n \longrightarrow +\infty}{\sim} \theta_n$$
Nous pouvons donc écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} \theta_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \sin(\theta_n)$$
Finalement :
$$A = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \theta_n = 0$$

D'après la question précédente, on sait que :
$$\sin(\theta_n) \underset{n \longrightarrow +\infty}{\sim} \theta_n$$
Ce qui revient à écrire que :
$$\dfrac{y}{n r_n} \underset{n \longrightarrow +\infty}{\sim} \theta_n$$
Mais on a montré, lors de la question précédente, que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} r_n = 1$$
Ainsi :
$$\dfrac{y}{n} \underset{n \longrightarrow +\infty}{\sim} \theta_n$$
On peut donc affirmer que, lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, la suite $$(\theta_n)$$ est équivalente à la suite $$\left( \dfrac{y}{n} \right)$$.

On sait que :
$$u_n = |u_n| \, e^{i \, \arg(u_n)} = |u_n| \, e^{i \, \arg \left( \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n \right) } = |u_n| \, e^{i \, n\arg \left( 1 + \frac{z}{n} \right) } = |u_n| \, e^{i \, n\theta_n }$$
Ce qui nous donne :
$$u_n = |u_n| \left( \cos(n\theta_n) + i \, \sin(n\theta_n) \right)$$
Ainsi, par passage à la limite, lorsque $$n \longrightarrow +\infty$$, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( |u_n| \left( \cos(n\theta_n) + i \, \sin(n\theta_n) \right) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = \lim_{n \longrightarrow +\infty} \left( |u_n| \right) \times \left( \cos\left( \lim_{n \longrightarrow +\infty} (n\theta_n) \right) + i \, \sin\left( \lim_{n \longrightarrow +\infty} (n\theta_n) \right) \right)$$
Soit, avec le résultat de la deuxième question :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = e^x \times \left( \cos\left( \lim_{n \longrightarrow +\infty} (n\theta_n) \right) + i \, \sin\left( \lim_{n \longrightarrow +\infty} (n\theta_n) \right) \right)$$
Mais, lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, la suite $$(\theta_n)$$ est équivalente à la suite $$\left( \dfrac{y}{n} \right)$$. Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} (n\theta_n) = y$$
Ainsi, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = e^x \times \left( \cos\left( y \right) + i \, \sin\left( y \right) \right)$$
De plus, on sait également que :
$$\cos\left( y \right) + i \, \sin\left( y \right) = e^{i \, y}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = e^x \times e^{i \, y}$$
De par les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = e^{x + i \, y}$$
Finalement :
$$L = \lim_{n \longrightarrow +\infty} u_n = e^z$$