Exercice 15 - Exercice 1

$${\color{red}{\blacksquare \,\, \textbf{Rappels}}}$$
On sait que :
si $$(u_n)$$ est une suite convergente dont la limite est égale à $$\ell$$, alors toute suite extraite de $$(u_n)$$ est également convergente et converge vers cette même limite $$\ell$$.
En outre, on rappelle que :
une suite $$(v_n)$$ est dite $$extraite$$ de la suite $$(u_n)$$ si elle est définie par un terme général de la forme $$v_n = u_{g(n)}$$ où $$g$$ est une fonction strictement croissante de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{N}$$.

$${\color{red}{\bullet}}$$ On considère la suite $$(v_n)$$ dont le terme général est $$v_n = u_{2n}$$. Ainsi la fonction $$x \longmapsto 2x$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$ et de fait $$n \longmapsto 2n$$ est strictement croissante et de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{N}$$. Ainsi la suite $$(v_n) = (u_{2n})$$ est une suite extraite de $$(u_n)$$.
De plus on constate que le terme général $$u_{2n}$$ s'exprime comme :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, u_{2n} = (-1)^{2n} = \left( (-1)^{n} \right)^2 = 1$$
De fait la suite extraite $$(v_n) = (u_{2n})$$ est convergente et converge vers $$1$$.
$${\color{red}{\bullet \bullet}}$$ On considère maintenant la suite $$(w_n)$$ dont le terme général est $$w_n = u_{2n+1}$$. Ainsi la fonction $$x \longmapsto 2x+1$$ est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$ et de fait $$n \longmapsto 2n+1$$ est strictement croissante et de $$\mathbb{N}$$ dans $$\mathbb{N}$$. Ainsi la suite $$(w_n) = (u_{2n})$$ est une suite extraite de $$(u_n)$$.
De plus on constate que le terme général $$u_{2n+1}$$ s'exprime comme :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, u_{2n+1} = (-1)^{2n+1} = (-1) \times (-1)^{2n} = (-1) \times \left( (-1)^{n} \right)^2 = (-1) \times 1 = -1$$
De fait la suite extraite $$(w_n) = (u_{2n+1})$$ est convergente et converge vers $$-1$$.
On constate que les deux suites $$(v_n)$$ et $$(w_n)$$ extraites de la même suite $$(u_n)$$ converge vers deux limites différentes.
$${\color{red}{\blacksquare \,\, \textbf{Conclusion}}}$$
En conclusion comme $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_{2n} \neq \lim_{n \longrightarrow + \infty} u_{2n+1}$$ alors on peut affirmer que la suite $$(u_n)$$ ne converge pas.
Ainsi $$(u_n)$$ est une suite divergente.