Exercice 14 - Exercice 1

On note par $$\varepsilon$$ un nombre réel quelconque.
Par hypothèse, on sait que la suite $$(u_{2n})$$ converge vers le réel $$\ell$$. Cela signifie que nous ayons :
$$\exist n_1 \in \mathbb{N}, \,\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, (n \geqslant n_1) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, | u_{2n} - \ell | < \varepsilon$$
De plus, on sait également que, par hypothèse, la suite $$(u_{2n+1})$$ converge également vers le même nombre réel $$\ell$$. Donc on a, de manière similaire :
$$\exist n_2 \in \mathbb{N}, \,\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, (n \geqslant n_2) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, | u_{2n+1} - \ell | < \varepsilon$$
Afin d'obtenir une assertion de même type pour la suite $$(u_{n})$$, il suffit de poser $$n_0 = \max_{\mathbb{N}} \big( 2n_1 \,;\, 2n_2+1 \big)$$. Ainsi, on obtient :
$$\exist n_2 \in \mathbb{N}, \,\, \forall n \in \mathbb{N}, \,\,\, (n \geqslant n_0) \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, | u_{n} - \ell | < \varepsilon$$
Ceci prouve que la suite $$(u_{n})$$ converge vers la même limite $$\ell$$ que les deux suites extraites $$(u_{2n})$$ et $$(u_{2n+1})$$.