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Les suites

Exercice 13 : Les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 - Exercice 2

30 min
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Soit nn un nombre entier naturel.
Soient u0=1u_0 = 1 et u1=12u_1 = \dfrac{1}{2}.
Soit (un)\left(u_n\right) une suite réelle définie par la relation de récurrence suivante : un+2=−un+1−unu_{n+2} = - u_{n+1} - u_{n}.
Question 1

Déterminer l'expression du terme général unu_n.

Correction
Soit (un)∈RN\left(u_n\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}} définie par {u0u1un+2=aun+1+bun\left\{ \begin{array}{ccc}u_0 & & \\ u_1 & & \\ u_{n+2} & = & au_{n+1}+bu_n \end{array}\right. avec a∈Ra\in \mathbb{R} et b∈Rb\in \mathbb{R}
Pour étudier ces suites, nous commencons par introduire l'équation caractéristique : ar2−ar−b=0ar^2-ar-b=0
L'expression du terme général unu_n est alors obtenu en fonction des racines de l'équation caractéristique.
  • Si Δ>0\red {\Delta >0} alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes notées r1r_1 et r2r_2 .
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=Ar1n+Br2n\red{u_n=Ar^n_1+Br^n_2}
  • Si Δ=0{\color{blue}{\Delta =0}} alors l'équation caractéristique admet une racine double réelle notée r0r_0 .
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=(An+B)r0n {\color{blue}{u_n=\left(An+B\right)r^n_0}}
  • Si Δ<0\pink{\Delta <0} alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées notées z1z_1 et z2z_2 où z1=ρeiθz_1=\rho e^{\mathrm{i}\theta } et z2=ρe−iθz_2=\rho e^{\mathrm{-}\mathrm{i}\theta } où ρ>0\rho >0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=ρn(Acos(nθ)+Bsin(nθ))\pink{u_n={\rho }^n\left(A\mathrm{cos}\left(n\theta \right)+B\mathrm{sin}\left(n\theta \right)\right)}
    • Il s'agit d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire du second ordre. Cette relation de récurrence est :
    un+2+un+1+un=0u_{n+2} + u_{n+1} + u_{n} = 0
    Ainsi, l'équation caractéristique associée est, avec r∈Cr \in \mathbb{C} :
    r2+r+1=0r^2 + r + 1 = 0
    Le discriminant associé est Δ=12−4×1×1=1−4=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1- 4 = - 3 < 0
    De fait, l'équation caractéristique va admettre deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre. On note par ii le nombre complexe qui vérifie i2=−1i^2 = -1. On a alors :
    r=−1±i−Δ2×1=−1±i32=−12±i32r = \dfrac{-1 \pm i \sqrt{-\Delta}}{2 \times 1} = \dfrac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} = - \dfrac{1}{2} \pm i \dfrac{\sqrt{3}}{2}
    Ceci peut également être écrit sous la forme :
    r=cos⁡(2π3)±isin⁡(2π3)r = \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \pm i \sin \left( \dfrac{2\pi}{3} \right)
    De fait, on a :
    un=Acos⁡(n2π3)+Bsin⁡(n2π3)    (A ; B)∈R2u_n = A\cos \left( n\dfrac{2\pi}{3} \right) + B \sin \left( n\dfrac{2\pi}{3} \right) \,\,\,\, (A\,;\,B) \in \mathbb{R}^2
    On sait que u0=1u_0 = 1 donc :
    u0=Acos⁡(02π3)+Bsin⁡(02π3)   ⟺   1=Acos⁡(0)+Bsin⁡(0)   ⟺   1=A1+B0   ⟺   1=Au_0 = A\cos \left( 0\dfrac{2\pi}{3} \right) + B \sin \left( 0\dfrac{2\pi}{3} \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = A\cos \left( 0\right) + B \sin \left( 0 \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = A1 + B 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = A
    Donc :
    un=cos⁡(n2π3)+Bsin⁡(n2π3)    B∈Ru_n = \cos \left( n\dfrac{2\pi}{3} \right) + B \sin \left( n\dfrac{2\pi}{3} \right) \,\,\,\, B \in \mathbb{R}
    Mais on sait également que u1=12u_1 = \dfrac{1}{2}. Donc :
    u1=cos⁡(2π3)+Bsin⁡(2π3)   ⟺   12=−12+B32   ⟺   1=B32   ⟺   2=B3   ⟺   23=Bu_1 = \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} \right) + B \sin \left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2} + B \dfrac{\sqrt{3}}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 = B \dfrac{\sqrt{3}}{2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2 = B\sqrt{3} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{2}{\sqrt{3}} = B
    Soit encore :
    B=233B = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}
    Finalement, on peut affirmer que :
    ∀n∈N,  un=cos⁡(n2π3)+233sin⁡(n2π3)\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_n = \cos \left( n\dfrac{2\pi}{3} \right) + \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \sin \left( n\dfrac{2\pi}{3} \right)