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Les suites

Exercice 13 : Les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 - Exercice 1

15 min
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Question 1

Soit nn un nombre entier naturel.
Soient u0=0u_0 = 0 et u1=1u_1 = 1.
Soit (un)\left(u_n\right) une suite réelle définie par la relation de récurrence suivante : un+2=4un+1−3unu_{n+2} = 4u_{n+1} -3 u_{n}.
Déterminer l'expression du terme général unu_n.

Correction
Soit (un)∈RN\left(u_n\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}} définie par {u0u1un+2=aun+1+bun\left\{ \begin{array}{ccc}u_0 & & \\ u_1 & & \\ u_{n+2} & = & au_{n+1}+bu_n \end{array}\right. avec a∈Ra\in \mathbb{R} et b∈Rb\in \mathbb{R}
Pour étudier ces suites, nous commencons par introduire l'équation caractéristique : ar2−ar−b=0ar^2-ar-b=0
L'expression du terme général unu_n est alors obtenu en fonction des racines de l'équation caractéristique.
  • Si Δ>0\red {\Delta >0} alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes notées r1r_1 et r2r_2 .
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=Ar1n+Br2n\red{u_n=Ar^n_1+Br^n_2}
  • Si Δ=0{\color{blue}{\Delta =0}} alors l'équation caractéristique admet une racine double réelle notée r0r_0 .
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=(An+B)r0n {\color{blue}{u_n=\left(An+B\right)r^n_0}}
  • Si Δ<0\pink{\Delta <0} alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées notées z1z_1 et z2z_2 où z1=ρeiθz_1=\rho e^{\mathrm{i}\theta } et z2=ρe−iθz_2=\rho e^{\mathrm{-}\mathrm{i}\theta } où ρ>0\rho >0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=ρn(Acos(nθ)+Bsin(nθ))\pink{u_n={\rho }^n\left(A\mathrm{cos}\left(n\theta \right)+B\mathrm{sin}\left(n\theta \right)\right)}
    • Il s'agit d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire du second ordre. Cette relation de récurrence est :
    un+2−4un+1+3un=0u_{n+2} -4u_{n+1} + 3u_{n} = 0
    Ainsi, l'équation caractéristique associée est, avec r∈Cr \in \mathbb{C} :
    r2−4r+3=0r^2 -4r +3 = 0
    Le discriminant associé est Δ=(−4)2−4×1×3=4>0\Delta = \left(-4\right)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4>0
    De fait, l'équation caractéristique va admettre deux racines réelles distinctes r1r_1 et r2r_2 telles que :
  • r1=−b−Δ2ar{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi r1=−(−4)−42×1r{}_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4} }{2\times 1} d'où r1=1r{}_{1} =1
  • r2=−b+Δ2ar{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi r2=−(−4)+42×1r{}_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4} }{2\times 1} d'où r2=3r{}_{2} =3
    • Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=A×1n+B×3nu_n=A\times1^n+B\times3^n ainsi un=A+3n⋅Bu_n=A+3^n\cdot B
    D'une part, on sait que u0=0u_0 = 0 donc : A+30⋅B=0   ⟺A+B=0A+3^0\cdot B=0\,\,\, \Longleftrightarrow A+B=0
    D'autre part, on sait que u1=1u_1 = 1 donc : A+31⋅B=1   ⟺A+3B=1A+3^1\cdot B=1\,\,\, \Longleftrightarrow A+3B=1
    Il nous faut donc résoudre le système :
    {A+B=0A+3B=1⟺{A=−12B=12\left\{ \begin{array}{ccc}A+B & = & 0 \\ A+3B & = & 1 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -\frac{1}{2} \\ B & = & \frac{1}{2} \end{array}\right.\right.
    Finalement :
    Le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn :
    un=−12+12⋅3nu_n=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot3^n
    Question 2

    Soit nn un nombre entier naturel.
    Soient u0=1u_0 = 1 et u1=2u_1 = 2.
    Soit (un)\left(u_n\right) une suite réelle définie par la relation de récurrence suivante : un+2=6un+1−9unu_{n+2} = 6u_{n+1} -9 u_{n}.
    Déterminer l'expression du terme général unu_n.

    Correction
    Soit (un)∈RN\left(u_n\right)\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{N}} définie par {u0u1un+2=aun+1+bun\left\{ \begin{array}{ccc}u_0 & & \\ u_1 & & \\ u_{n+2} & = & au_{n+1}+bu_n \end{array}\right. avec a∈Ra\in \mathbb{R} et b∈Rb\in \mathbb{R}
    Pour étudier ces suites, nous commencons par introduire l'équation caractéristique : ar2−ar−b=0ar^2-ar-b=0
    L'expression du terme général unu_n est alors obtenu en fonction des racines de l'équation caractéristique.
  • Si Δ>0\red {\Delta >0} alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes notées r1r_1 et r2r_2 .
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=Ar1n+Br2n\red{u_n=Ar^n_1+Br^n_2}
  • Si Δ=0{\color{blue}{\Delta =0}} alors l'équation caractéristique admet une racine double réelle notée r0r_0 .
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=(An+B)r0n {\color{blue}{u_n=\left(An+B\right)r^n_0}}
  • Si Δ<0\pink{\Delta <0} alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées notées z1z_1 et z2z_2 où z1=ρeiθz_1=\rho e^{\mathrm{i}\theta } et z2=ρe−iθz_2=\rho e^{\mathrm{-}\mathrm{i}\theta } où ρ>0\rho >0 et θ∈[0;2π[\theta \in \left[0;2\pi \right[
    Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=ρn(Acos(nθ)+Bsin(nθ))\pink{u_n={\rho }^n\left(A\mathrm{cos}\left(n\theta \right)+B\mathrm{sin}\left(n\theta \right)\right)}
    • Il s'agit d'une suite définie par une relation de récurrence linéaire du second ordre. Cette relation de récurrence est :
    un+2−6un+1+9un=0u_{n+2} -6u_{n+1} + 9u_{n} = 0
    Ainsi, l'équation caractéristique associée est, avec r∈Cr \in \mathbb{C} :
    r2−6r+9=0r^2 -6r +9 = 0
    Le discriminant associé est Δ=(−6)2−4×1×9=0\Delta = \left(-6\right)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0
    De fait, l'équation caractéristique va admettre une racine double réelle notée r0r_0 telle que :
  • r0=−b2ar{}_{0} =\frac{-b }{2a} ainsi r0=−(−6)2×1r{}_{0} =\frac{-\left(-6\right) }{2\times 1} d'où r0=3r{}_{0} =3
    • Il existe alors deux réelles AA et BB telles que le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn : un=(An+B)⋅3nu_n=\left(An+B\right)\cdot3^n
    D'une part, on sait que u0=1u_0 = 1 donc : (A×0+B)⋅30=1   ⟺B=1\left(A\times 0+B\right)\cdot3^0=1\,\,\, \Longleftrightarrow B=1
    D'autre part, on sait que u1=1u_1 = 1 donc : (A×1+B)⋅31=2   ⟺3A+3B=2\left(A\times 1+B\right)\cdot3^1=2\,\,\, \Longleftrightarrow 3A+3B=2
    Il nous faut donc résoudre le système :
    {B=13A+3B=2⟺{A=−13B=1\left\{ \begin{array}{ccc}B & = & 1 \\ 3A+3B & = & 2 \end{array}\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}A & = & -\frac{1}{3} \\ B & = & 1 \end{array}\right.\right.
    Finalement :
    Le terme général unu_n s'écrit, pour tout entier naturel nn :
    un=(−13n+1)⋅3nu_n=\left(-\frac{1}{3}n+1\right)\cdot3^n