Exercice 1 - Exercice 1

D'après l'énoncé, on sait que la suite $$(u_n)$$ converge. Soit $$\ell \in \mathbb{R}$$.
Cette convergence se traduit par l'assertion :
$$\forall \varepsilon > 0, \,\, \exist n_0 \in \mathbb{N}, \,\, n \geqslant n_0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, |u_n - \ell| < \varepsilon$$
On pose $$\varepsilon = \dfrac{1}{2}$$. De fait, on peut associer un nombre entier naturel $$n_0$$ tel que pour $$n \geqslant n_0$$ on ait $$|u_n - \ell| < \dfrac{1}{2}$$. Ceci revient à dire que l'on a $$\left] \ell - \dfrac{1}{2} \,;\, \ell + \dfrac{1}{2} \right[$$.
Par hypothèse, on sait que les éléments de la suite $$(u_n)$$ sont des éléments de $$\mathbb{Z}$$. Ainsi, dans l'intervalle $$\left] \ell - \dfrac{1}{2} \,;\, \ell + \dfrac{1}{2} \right[$$ in n'y a qu'un seul élément de $$\mathbb{Z}$$. Si tous les éléments $$u_n$$, avec $$n \geqslant n_0$$, doivent se trouver dans cet intervalle $$\left] \ell - \dfrac{1}{2} \,;\, \ell + \dfrac{1}{2} \right[$$ alors l'unique possibilité est que tous ces éléments $$u_n$$, avec $$n \geqslant n_0$$, prennent la même valeur.
Ainsi la suite $$(u_n)$$ est stationnaire à partir du rang $$n_0$$.