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Déterminer le rayon de convergence RR de la série suivante S(x)=∑n=0+∞(1+1n)n2xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2} x^n - Exercice 1

20 min
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Question 1

Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
Déterminer le rayon de convergence RR de la série suivante S(x)=∑n=0+∞(1+1n)n2xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2} x^n

Correction
Utilisons la règle de Cauchy\textit{Cauchy}. On pose an=(1+1n)n2a_n = \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2}, et on a :
lim⁡n⟶+∞∣ann∣=lim⁡n⟶+∞∣(1+1n)n2n∣=lim⁡n⟶+∞∣[(1+1n)n2]1n∣=lim⁡n⟶+∞∣(1+1n)n2×1n∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \sqrt[n]{ a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \sqrt[n]{ \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2}} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \left[ \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2} \right]^{\frac{1}{n}} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n^2 \times \frac{1}{n}} \right|
Soit :
lim⁡n⟶+∞∣ann∣=lim⁡n⟶+∞∣(1+1n)n∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \sqrt[n]{ a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} \right|
Comme n∈N,  1+1n>0n\in \mathbb{N}, \,\, 1 + \dfrac{1}{n} >0, donc on a :
lim⁡n⟶+∞∣ann∣=lim⁡n⟶+∞(1+1n)n=lim⁡n⟶+∞eln⁡(1+1n)n=lim⁡n⟶+∞enln⁡(1+1n)\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \sqrt[n]{ a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{\ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n} } = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{n\ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right)}
Or, si X⟶0X \longrightarrow 0, alors ln⁡(1+X)=X+o(X)\ln (1+X) = X + o(X). Mais n⟶+∞n \longrightarrow+\infty alors 1n⟶0\dfrac{1}{n} \longrightarrow 0. On en déduit alors :
lim⁡n⟶+∞∣ann∣=lim⁡n⟶+∞en(1n+0(1n))=lim⁡n⟶+∞enn+n0(1n)=lim⁡n⟶+∞e1+0(nn)=lim⁡n⟶+∞ee0(1)\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \sqrt[n]{ a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{n \left( \frac{1}{n} + 0\left( \frac{1}{n} \right) \right)} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{\frac{n}{n} + n 0\left( \frac{1}{n} \right)} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{1 + 0\left( \frac{n}{n} \right)} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} ee^{ 0\left( 1 \right)}
Soit :
lim⁡n⟶+∞∣ann∣=elim⁡n⟶+∞e0(1)=e elim⁡n⟶+∞0(1)=e e0=e×1=e\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \sqrt[n]{a_n} \right| = e \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{ 0 \left( 1 \right)} = e \, e^{ \underset{n \longrightarrow + \infty}{\lim} 0 \left( 1 \right) } = e \, e^0 = e \times 1 = e
Donc le rayon de convergence RR de cette série est :
R=1eR = \dfrac{1}{e}

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