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Déterminer le rayon de convergence RR de la série entière S(x)=∑n=0+∞(2n)!(n!)2xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n) !}{(n!)^2} x^n - Exercice 1

20 min
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Question 1

Soit nn un nombre entier naturel.
Déterminer le rayon de convergence RR de la série entière S(x)=∑n=0+∞(2n)!(n!)2xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n) !}{(n!)^2} x^n

Correction
Utilisons la règle de D'Alembert. On pose an=(2n)!(n!)2a_n = \dfrac{(2n) !}{(n!)^2}, et on a :
lim⁡n⟶+∞∣an+1an∣=lim⁡n⟶+∞∣(2(n+1))!((n+1)!)2(2n)!(n!)2∣=lim⁡n⟶+∞∣(2(n+1))!((n+1)!)2(n!)2(2n)!∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{ \dfrac{(2(n+1)) !}{((n+1)!)^2} }{ \dfrac{(2n) !}{(n!)^2} } \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(2(n+1)) !}{((n+1)!)^2} \dfrac{(n!)^2}{(2n) !} \right|
Soit :
lim⁡n⟶+∞∣an+1an∣=lim⁡n⟶+∞∣(2(n+1))!(2n)!(n!)2((n+1)!)2∣=lim⁡n⟶+∞∣(2(n+1))!(2n)!(n!(n+1)!)2∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(2(n+1)) !}{(2n) !} \dfrac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(2(n+1)) !}{(2n) !} \left( \dfrac{n!}{(n+1)!}\right)^2 \right|
Donc :
lim⁡n⟶+∞∣an+1an∣=lim⁡n⟶+∞∣(2n+2)!(2n)!(1n+1)2∣=lim⁡n⟶+∞∣(2n+2)(2n+1)(2n)!(2n)!(1n+1)2∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(2n+2)!}{(2n) !} \left( \dfrac{1}{n+1}\right)^2 \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n) !} \left( \dfrac{1}{n+1}\right)^2 \right|
Dès lors, on obtient :
lim⁡n⟶+∞∣an+1an∣=lim⁡n⟶+∞∣(2n+2)(2n+1)(n+1)2∣=lim⁡n⟶+∞∣4n2+6n+2n2+2n+1∣=lim⁡n⟶+∞∣4n2n2∣\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{4n^2 + 6n + 2}{n^2+2n+1} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{4n^2}{n^2} \right|
Ce qui nous permet d'écrire que :
lim⁡n⟶+∞∣an+1an∣=lim⁡n⟶+∞∣41∣=lim⁡n⟶+∞∣4∣=4\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| \dfrac{4}{1} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| 4 \right| = 4
Donc le rayon de convergence R4R_4 de cette série est :
R=14R = \dfrac{1}{4}

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