Déterminer le rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} z^n$$. - Exercice 1

Nous allons procéder par équivalence lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$.
On a :
$$\left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} = e^{\ln \left( \left( \frac{1}{2} \left( \cosh \left( \frac{1}{n} \right) + \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} \right)} = e^{n^4 \ln \left( \frac{1}{2} \left( \cosh \left( \frac{1}{n} \right) + \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right) \right)}$$
Lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on a $$\dfrac{1}{n} \longrightarrow 0$$. Donc :
$$\cosh \left( \frac{1}{n} \right) + \cos \left( \frac{1}{n} \right) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1}{24n^4} + 1 - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1}{24n^4} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} 2 \left( 1 + \dfrac{1}{24n^4} \right)$$
Donc :
$$\dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} 1 + \dfrac{1}{24n^4}$$
De fait :
$$\ln \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \ln \left( 1 + \dfrac{1}{24n^4} \right) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{1}{24n^4}$$
Ce qui implique que :
$$n^4 \ln \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{1}{24}$$
En nous sommes donc conduit à :
$$e^{n^4 \ln \left( \frac{1}{2} \left( \cosh \left( \frac{1}{n} \right) + \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right) \right)} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} e^{\frac{1}{24}}$$
D'où :
$$\left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} e^{\frac{1}{24}}$$
La série entière que nous étudions $$\sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} z^n$$ à donc le même rayon de convergence que la série entière $$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^{\frac{1}{24}} z^n = e^{\frac{1}{24}} \sum_{n = 1}^{+\infty} z^n$$. Donc il nous faut maintenant nous intéresser à la série entière $$\sum_{n = 1}^{+\infty} z^n$$.
On reconnait la série entière géométrique $$\sum_{n = 1}^{+\infty} z^n = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1 \, z^n$$. Cette dernière converge pour $$|z| < 1$$ et, dans ce cas, sa somme nous donne $$\dfrac{1}{1-z}$$. Ainsi le rayon de convergence de la série entière géométrique est $$R = 1$$.
Il s'ensuit, grace aux équivalences, que la rayon de convergence de la série entière étudiée dans cet exercice est également égal à l'unité.
En conclusion :
$$R = 1$$.