Déterminer le rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n = 0}^{+\infty} \big( \ln(n!) \big)^2$$. - Exercice 1

Déterminons un équivalent de $$\big( \ln(n!) \big)^2$$ lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$.
On a :
$$\ln(n!) = \ln\ \big( n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 \big) = \ln(n) + \ln(n-1) + \ln (n-2) + \cdots + \ln(2) + \ln(1)$$
Ainsi :
$$\ln(n!) = \sum_{^k = 1}^n \ln(k)$$
Considérons maintenant que $$n \longrightarrow + \infty$$. On a alors :
$$\sum_{k = 1}^n \ln(k) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \int_1^n \ln(k) \, \mathrm{d}k$$
Avec une intégration par partie, on obtient :
$$\int_1^n \ln(k) \, \mathrm{d}k = \int_1^n 1 \times \ln(k) \, \mathrm{d}k = \big[ k \ln(k) - k\big]_1^n = n \ln(n) - n + 1 = n \big( \ln(n) -1 \big) + 1$$
Puis, on a :
$$n \big( \ln(n) -1 \big) + 1 \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} n \ln (n)$$
D'où, on trouve que :
$$\ln(n!) \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} n \ln (n)$$
De fait, on en déduit que :
$$\big( \ln(n!) \big)^2 \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} n^2 \ln^2 (n)$$
Notons, pour tout nombre entier naturel $$n$$, $$a_n = \big( \ln(n!) \big)^2 \geqslant 0$$.
Faisons maintenant usage de la règle de D'Alembert. On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{\big( \ln((n+1)!) \big)^2}{\big( \ln(n!) \big)^2}$$
Mais, on peut écrire que :
$$\dfrac{\big( \ln((n+1)!) \big)^2}{\big( \ln(n!) \big)^2} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{(n+1)^2 \ln^2 (n+1)}{n^2 \ln^2 (n)} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} \dfrac{n^2 \ln^2(n)}{n^2 \ln^2 (n)} \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} 1$$
On en déduit donc que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1$$.
Ceci nous permet d'affirmer que la rayon de convergence de la série entière considérée est $$R = \dfrac{1}{1} = 1$$.