Déterminer le rayon de convergence de la série entière $$\sum_{n = 0}^{+ \infty} n! \, z^n$$. - Exercice 1

Appliquons la règle de d'Alembert. Posons $$a_n = n! > 0$$. On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{(n+1)!}{n !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{(n+1) \times n!}{n !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} (n+1) = +\infty$$
Donc le rayon de convergence de cette série entière est nul.
Autrement dit, l'ensemble des nombres complexes $$z$$ pour lesquels cette série entière converge se réduit à $$z=0$$.

Appliquons la règle de d'Alembert. Posons $$a_n = \dfrac{1}{n!} > 0$$. On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{\dfrac{1}{(n+1)!}}{\dfrac{1}{n!}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n!}{(n+1) !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n!}{(n+1) \times n !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n+1} = 0$$
Donc le rayon de convergence de cette série entière est infini.
Autrement dit, cette série entière converge pour tout nombre complexe $$z$$.

La série entière proposée $$\sum_{n = 0}^{+ \infty} z^n$$ est une série géométrique de raison $$z$$ ; avec $$a_n = 1$$.
De fait cette série est convergente si $$|z| < 1$$.
Donc le rayon de convergence de cette série entière est $$1$$.
Puis, sur le bord du disque de convergence, de centre $$O$$ et de rayon unité, on a $$|z|=1$$.
Dans ce cas on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} a_n \, z^n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} z^n \neq 0$$
En conséquence, sur la disque de convergence de cette série, cette dernière ne converge pas.
Enfin, pour $$|z| < 1$$, on a alors :
$$\sum_{n = 0}^{+ \infty} z^n = S(z) = \dfrac{1}{1-z}$$