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Déterminer le développement en série entière (D.S.E) de la l'expression suivante : f(x)=16x2−5x+1f(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1} - Exercice 1

30 min
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Question 1

Déterminer le développement en série entière (D.S.E) de la l'expression suivante : f(x)=16x2−5x+1f(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1}

⇝  \rightsquigarrow \,\, Indication : pour bien deˊmarrer ...\textbf{Indication : pour bien démarrer ...}

Dans C\mathbb{C}, si FF est une fraction rationnelle, mise sous forme irréductible F=PQF = \dfrac{P}{Q} avec
deg⁡(Q)=q⩾1\deg(Q) = q \geqslant 1, et Q(0)≠0Q(0) \neq 0, et si (rk)1⩽k⩽q(r_k)_{1\leqslant k \leqslant q} sont les racines distinctes de QQ (encore appelées poˆle\textbf{pôle} de FF) alors FF est D.S.E. de rayon de convergence R=inf⁡{∣rk∣ ; 1⩽k⩽q}R=\inf\lbrace |r_k| \,;\, 1\leqslant k \leqslant q\rbrace.}

Correction
On a :
6x2−5x+1=0    ⟺    x={13 ; 12}6x^2-5x+1 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \left\lbrace \dfrac{1}{3} \,;\, \dfrac{1}{2} \right\rbrace
Ce qui implique que :
6x2−5x+1=6(x−13)(x−12)    ⟺    6x2−5x+1=(3x−1)(2x−1)6x^2-5x+1 = 6 \left( x - \dfrac{1}{3} \right) \left( x - \dfrac{1}{2} \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 6x^2-5x+1 = \left( 3x - 1 \right) \left( 2x - 1 \right)
Soit :
6x2−5x+1=(1−3x)(1−2x)6x^2-5x+1 = ( 1 - 3x ) ( 1 - 2x )
On en déduit alors que :
f(x)=16x2−5x+1=1(1−3x)(1−2x)f(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1} = \dfrac{1}{( 1 - 3x ) ( 1 - 2x )}
En effectuant une décomposition en éléments simples (D.E.S. qui est surtout à ne pas confondre avec un D.S.E.) sur R/{13 ; 12}\mathbb{R} / \left\lbrace \dfrac{1}{3} \,;\, \dfrac{1}{2} \right\rbrace, on trouve que :
f(x)=16x2−5x+1=31−3x−21−2xf(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1} = \dfrac{3}{1 - 3x } - \dfrac{2}{1 - 2x }
▼  \blacktriangledown\,\, Si ∣x∣<13|x|<\dfrac{1}{3} alors 31−3x=3∑n=0+∞(3x)n=∑n=0+∞3n+1xn\dfrac{3}{1 - 3x } = 3\sum_{n=0}^{+\infty} (3x)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} 3 ^{n+1} x^n.
▼  \blacktriangledown\,\, Si ∣x∣<12|x|<\dfrac{1}{2} alors 21−2x=2∑n=0+∞(2x)n=∑n=0+∞2n+1xn\dfrac{2}{1 - 2x } = 2\sum_{n=0}^{+\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} 2 ^{n+1} x^n.
∢  \sphericalangle \,\, EN CONCLUSION :\textbf{EN CONCLUSION :}
Donc, si ∣x∣<13|x|<\dfrac{1}{3} alors on a :
f(x)=∑n=0+∞3n+1xn−∑n=0+∞2n+1xnf(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} 3 ^{n+1} x^n - \sum_{n=0}^{+\infty} 2 ^{n+1} x^n
Finalement, avec un rayon de convergence R=13R = \dfrac{1}{3}, on on obtient le D.S.E. suivant :
f(x)=∑n=0+∞(3n+1−2n+1)xnf(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 3 ^{n+1} - 2 ^{n+1} \right) x^n

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