Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle $$e^{-x} \sin(x)$$. - Exercice 1

Soit $$x \in \mathbb{R}$$.
Soit $$\mathrm{i}$$ le nombre complexe tel que $$\mathrm{i}^2 = -1$$.
On a :
$$\sin(x) = \Im\mathrm{m} \big( e^{\mathrm{i}x} \big)$$
Ainsi :
$$e^{-x} \sin(x) = e^{-x} \times \Im\mathrm{m} \big( e^{\mathrm{i}x} \big)$$
D'où :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \big( e^{-x} \times e^{\mathrm{i}x} \big)$$
Ce qui nous donne :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \big( e^{-x + \mathrm{i}x} \big)$$
On obtient alors :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \big( e^{(\mathrm{i}-1) \,x} \big)$$
En faisant usage de la série entière associée à l'exponentielle, on obtient :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\big( (\mathrm{i}-1) \,x \big)^n}{n!} \right)$$
Soit :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{ (\mathrm{i}-1)^n}{n!} x^n \right)$$
Mais, on sait que :
$$\mathrm{i}-1 = - 1 + \mathrm{i} = - 1 + 1 \, \mathrm{i} = \sqrt{2} \, e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} \, e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$$
Donc :
$$(\mathrm{i}-1)^n = 2^{\frac{n}{2}} \, e^{\mathrm{i}\frac{3n\pi}{4}}$$
Ainsi, nous sommes conduit à pouvoir écrire que :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{ 2^{\frac{n}{2}} \, e^{\mathrm{i} \frac{3n\pi}{4}} }{n!} x^n \right)$$
Nous allons donc écrire que :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{ 2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \left( \cos \left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) + \mathrm{i} \sin\left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) \right) x^n\right)$$
Soit :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{ 2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \left( \cos \left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n + \mathrm{i} \sin\left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n \right) \right)$$
Soit encore :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \dfrac{2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \cos \left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n + \mathrm{i} \dfrac{2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \sin\left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n \right) \right)$$
Nous obtenons donc :
$$e^{-x} \sin(x) = \Im\mathrm{m} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \cos \left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n + \mathrm{i} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \sin\left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n \right)$$
Finalement, nous avons le résultat suivant :
$$e^{-x} \sin(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{2^{\frac{n}{2}} \, }{n!} \sin\left( \dfrac{3n\pi}{4} \right) x^n$$