Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle $$\big( \sin(x) \big)^2$$. - Exercice 1

On a :
$$\big( \sin(x) \big)^2 = \dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos(2x)$$
Or on sait que, pour $$X \in \mathbb{R}$$, on a :
$$\cos(X) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, X^{2n}$$
Posons donc $$X = 2x$$. On a alors :
$$\cos(2x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, (2x)^{2n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, 2^{2n} \, x^{2n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n} = \dfrac{(-1)^0 \, 2^{2 \times 0}}{(2 \times 0)!} \, x^{2 \times 0} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
D'où :
$$\cos(2x) = \dfrac{1 \times 2^{0}}{0!} \, x^{0} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
Comme $$0! = 1$$ on trouve que :
$$\cos(2x) = 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
De fait :
$$1 - \cos(2x) = 1 - 1 - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
Soit :
$$1 - \cos(2x) = - \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
Soit encore :
$$1 - \cos(2x) = (-1)^1 \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^n \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
Donc :
$$1 - \cos(2x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^{n+1} \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
On en déduit alors que :
$$\dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) = \dfrac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^{n+1} \, 2^{2n}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^{n+1} \, 2^{2n}}{2^1 \times (2n)!} \, x^{2n}$$
En simplifiant, on obtient :
$$\dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^{n+1} \, 2^{2n-1}}{(2n)!} \, x^{2n}$$
Finalement, on obtient :
$$\big( \sin(x) \big)^2 = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{(-1)^{n+1} \, 2^{2n-1}}{(2n)!} \, x^{2n}$$