Déterminer le développement en série entière de la fonction $$f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$$ suivante : $$f(x) = e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t$$ - Exercice 1

La fonction exponentielle est D.S.E. donc il en va de même pour la fonction $$x \longmapsto e^{-x^2}$$.
De par les propriétés de convergence des séries entières, on en déduit immédiatement que (par intégration)
la fonction $$x \longmapsto \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t$$ est également D.S.E..
On a la fonction dérivée $$f'$$ suivante :
$$f'(x) = \left( e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right)' = \left( e^{x^2} \right)' \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + e^{x^2} \left( \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right)'$$
Soit :
$$f'(x) = 2x e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + e^{x^2} \left( \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right)'$$
Notons par $$H$$ une primitive de $$e^{-t^2}$$. Dans ce cas, $$H'(x) = e^{-x^2}$$ on a :
$$\int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t = H(x) - H(0) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \left( \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right)' = H'(x) - H'(0)$$
Soit encore :
$$\left( \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t \right)' = e^{-x^2} - 0$$
Donc, on obtient :
$$f'(x) = 2x e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + e^{x^2} e^{-x^2}$$
Donc, on peut écrire :
$$f'(x) = 2x e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t + 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f'(x) = 2x f(x) + 1$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) - 2x f(x) = 1$$
Ainsi $$f$$ est la solution de l'équation différentielle (E) suivante : $$y' - 2x y =1$$.
Cherchons maintenant une solution à cette équation différentielle sous la forme d'une série entière, à savoir :
$$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$$
Ce qui implique que :
$$xf(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+1} \,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\, f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$$
Mais on a :
$$f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = a_1 + \sum_{n=2}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$$
Donc, en posant $$N = n-2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, N+2 = n$$, on obtient :
$$f'(x) = a_1 + \sum_{N=0}^{+\infty} (N+2) a_{N+2} x^{N+2-1} = a_1 + \sum_{N=0}^{+\infty} (N+2) a_{N+2} x^{N+1}$$
Or, l'indice $$N$$ est muet, donc opérons la substitution d'écriture $$N \rightleftharpoons n$$ ; ce qui nous donne alors :
$$f'(x) = a_1 + \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+1}$$
L'équation (E) devient alors :
$$a_1 + \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+1} - 2\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+1} = 1$$
Soit encore :
$$a_1 + \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ (n+2) a_{n+2} - 2 a_n \right] x^{n+1} = 1$$
Que nous pouvons réécrire sous la forme :
$$a_1 + \sum_{n=0}^{+\infty} \left[ (n+2) a_{n+2} - 2 a_n \right] x^{n+1} = 1 + \sum_{n=0}^{+\infty} 0 x^{n+1}$$
Donc, on en déduit de suite que
$$a_1 = 1 \,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\, (n+2) a_{n+2} - 2 a_n = 0$$
Soit :
$$a_1 = 1 \,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\, a_{n+2} = \dfrac{2}{n+2} a_n$$
Pour itérer cette relation de récurrence il nous faut distinguer le cas des $$n$$ pairs et des $$n$$ impairs.
Comme on a :
$$f(0) = f(0) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \sum_{n=0}^{+\infty} a_n 0^n = e^{0^2} \int_{0}^{0} e^{-t^2} \, dt \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, a_0 = 0$$
Ainsi, pour tout $$n$$ pair, on a $$a_n = 0$$.
Puis, comme on sait que $$a_1 = 1$$ alors, on trouve que pour $$n$$ impair ($$n=2p+1$$ avec $$p \in \mathbb{N}$$) :
$$a_{2p+1} = \dfrac{2}{2p+1} \times \dfrac{2}{2p-1} \times ...\times \dfrac{2}{3} \times a_1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, a_{2p+1} = \dfrac{2}{2p+1} \times \dfrac{2}{2p-1} \times ...\times \dfrac{2}{3} \times 1$$
Soit :
$$a_{2p+1} = \dfrac{2^p}{(2p+1)(2p-1) ... 1}$$
En complétant avec les termes pairs, à la fois au numérateur et au dénominateur (afin de faire apparaître l'expression $$(2p+1)!$$ au dénominateur), on obtient :
$$a_{2p+1} = \dfrac{2^p (2p)(2p-2)...2}{(2p+1)(2p)(2p-1)(2p-2) ... 2 \times 1} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, a_{2p+1} = \dfrac{2^p 2^p (p)(p-1)...1}{(2p+1)!}$$
Ce qui nous donne :
$$a_{2p+1} = \dfrac{(2^p)^2 p!}{(2p+1)!} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, a_{2p+1} = \dfrac{2^{2p} p!}{(2p+1)!}$$
Finalement, on en déduit le D.S.E. de la fonction $$f$$ :
$$f(x) = e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, dt = \sum_{p=0}^{\infty} \dfrac{2^{2p} p!}{(2p+1)!} x^{2p+1}$$