Exercice 9 - Exercice 1

L'énoncé suggère d'exploiter la relation proposée, à savoir :
$$x^2 = \dfrac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$$
Nous allons donc intégrer cette dernière relation entre les abscisses $$0$$ et $$x$$. On a alors :
$$x^3 = 3 \times \dfrac{x^3}{3} = 3 \times \dfrac{x^3 - 0^3}{3} = 3 \times \int_{0}^{x} t^2 \, \mathrm{d}t = 3 \times \int_{0}^{x} \left( \dfrac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(nt) \right) \, \mathrm{d}t$$
Ce qui nous donne :
$$x^3 = \int_{0}^{x} \left( \pi^2 + 3\times4 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(nt) \right) \, \mathrm{d}t = \pi^2 \int_{0}^{x} 1 \, \mathrm{d}t + 12 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2} \int_{0}^{x} \cos(nt) \, \mathrm{d}t$$
Mais, on sait que $$\int_{0}^{x} 1 \, \mathrm{d}t = x$$ et que :
$$\int_{0}^{x} \cos(nt) \, \mathrm{d}t = \left[ \dfrac{\sin(nt)}{n} \right]_{0}^{x} = \dfrac{ \sin(nx) - \sin(n0)}{n} = \dfrac{ \sin(nx) - \sin(0)}{n} = \dfrac{ \sin(nx) - 0}{n} = \dfrac{ \sin(nx)}{n}$$
Soit :
$$x^3 = \pi^2 x + 12 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2} \dfrac{ \sin(nx)}{n} \,$$
Ce qui nous conduit naturellement à :
$$x^3 = \pi^2 x + 12 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx) \,$$
Il nous faut maintenant expliciter la série de Fourier qui est associée au terme $$x$$. Pour ce faire, nous effectuer, cette fois, une dérivation.
On a alors :
$$x = \frac{1}{2}(x^2)'$$
Soit :
$$x = \frac{1}{2} \left( \dfrac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx) \right)'$$
Soit encore :
$$x = \frac{1}{2} \left( \dfrac{\pi^2}{3} \right)' + \frac{1}{2}4 \left(\sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx) \right)'$$
La dérivation s'effectuant par rapport à la variable $$x$$, nous pouvons écrire que :
$$x = \frac{1}{2} \left( \dfrac{\pi^2}{3} \right)' + 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2} \left( \cos(nx) \right)'$$
Avec $$\left( \dfrac{\pi^2}{3} \right)' = 0$$ et $$\left( \cos(nx) \right)'= -n \sin(nx)$$
Ce qui nous donne :
$$x = 0 - 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2} n\sin(nx)$$
Nous allons donc écrire ceci comme :
$$x = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^1(-1)^n}{n^2} n\sin(nx)$$
En simplifiant par $$n$$, non nul, on obtient :
$$x = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^1(-1)^n}{n} \sin(nx)$$
Enfin, on sait que $$(-1)^1(-1)^n = (-1)^{n+1}$$. Ce qui finalement nous donne :
$$x = 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$$
On en déduit alors que :
$$x^3 = \pi^2 2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) + 12 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$
Nous allons donc écrire que :
$$x^3 = 2\pi^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}n^2}{n^3} \sin(nx) + 2\times 6 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$
Soit :
$$x^3 = -2\pi^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n n^2}{n^3} \sin(nx) + 2\times 6 \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$
Soit encore :
$$x^3 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( -2\pi^2 \right) \dfrac{(-1)^n n^2}{n^3} \sin(nx) + \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( 2 \times 6 \right) \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$
Donc :
$$x^3 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( -\pi^2 n^2\right) 2 \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx) + \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( 6 \right)2 \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$
En regroupant les deux sommations, on obtient :
$$x^3 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \left( -\pi^2 n^2\right) 2\dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx) + (6)2 \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx) \right)$$
En factorisant, on arrive à :
$$x^3 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( -\pi^2 n^2 + 6 \right) 2\dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{ \boxed{x^3 = 2\sum_{n = 1}^{+\infty} \left( 6 - n^2\pi^2 \right) \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx) }}}$$
A titre informatif, on donne ci-dessous le graphe de la somme partielle $$2\sum_{n = 1}^{50} \left( 6 - n^2\pi^2 \right) \dfrac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$$ :

En allant jusqu'à $$n = 2000$$ le résultat est particulièrement convaincant.