Exercice 4 - Exercice 1

La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$, associée à $$f$$ $$2\pi$$-périodique, à déterminer nécessite la connaissance de l'expression des trois coefficients réels suivants :

- le coefficient $$a_0$$ :
$$a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \, dx = \dfrac{e^\pi - e^{-\pi}}{\pi} = \dfrac{2}{\pi}\dfrac{e^\pi - e^{-\pi}}{2} = \dfrac{2}{\pi} \sinh(\pi)$$

- le coefficient $$a_n$$ ($$n \in \mathbb{N}^*$$) :
on a, par une intégration par parties :
$$a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \, \cos(nx) \, dx = \dfrac{1}{\pi} \left[ e^x \cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} - \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \times -n\sin(nx) \, dx$$
Soit :
$$a_n = \dfrac{1}{\pi} \left[ e^x \cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} + \dfrac{n}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \,\sin(nx) \, dx$$
Avec :
$$\left[ e^x \cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} = e^\pi \cos(n\pi) - e^{-\pi} \cos(-n\pi) = e^\pi \cos(n\pi) - e^{-\pi} \cos(n\pi)$$
D'où :
$$\left[ e^x \cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} = \cos(n\pi) (e^\pi - e^{-\pi}) = (-1)^n 2\sinh(\pi)$$
Ainsi :
$$a_n = \dfrac{2}{\pi} (-1)^n \sinh(\pi) + \dfrac{n}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \,\sin(nx) \, dx$$
En effectuant une seconde intégrations par parties :
$$\int_{-\pi}^{\pi} e^x \,\sin(nx) \, dx = \left[ e^x \sin(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} e^x \times n\cos(nx) \, dx$$
Soit encore :
$$\int_{-\pi}^{\pi} e^x \,\sin(nx) \, dx = 0- n\int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(nx) \, dx = -n\pi \dfrac{1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(nx) \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\int_{-\pi}^{\pi} e^x \,\sin(nx) \, dx = -n\pi a_n$$
On peut alors écrire que :
$$a_n = \dfrac{2}{\pi}(-1)^n \sinh(\pi) +\dfrac{n}{\pi} \times -n\pi a_n \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a_n = \dfrac{2}{\pi}(-1)^n \sinh(\pi) -n^2 a_n$$
Donc :
$$a_n + n^2 a_n = \dfrac{2}{\pi}(-1)^n \sinh(\pi) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a_n (1+n^2) = \dfrac{2}{\pi}(-1)^n \sinh(\pi)$$
Ce qui nous donne enfin :
$$a_n =\dfrac{2}{\pi(1+n^2)}(-1)^n \sinh(\pi)$$
- le coefficient $$b_n$$ ($$n \in \mathbb{N}^*$$) :
par un calcul totalement similaire, à savoir deux intégrations par parties successives, on obtient :
$$b_n = - \dfrac{2n}{\pi(1+n^2)}(-1)^n \sinh(\pi)$$
La série de Fourier s'écrit donc sous la forme suivante :
$$\mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{\dfrac{2}{\pi} \sinh(\pi)}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{2}{\pi(1+n^2)}(-1)^n \sinh(\pi) \cos(nx) - \dfrac{2n}{\pi(1+n^2)}(-1)^n \sinh(\pi) \sin(nx) \right)$$
Soit en simplifiant et factorisant :
$$\mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} + \dfrac{2}{\pi} \sinh(\pi)\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{(-1)^n}{1+n^2}\left( \cos(nx) - n\sin(nx) \right)\right)$$
Finalement :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\dfrac{(-1)^n}{1+n^2}\left( \cos(nx) - n\sin(nx) \right)\right)\right) } }}}$$

Si on se place en $$x=\pi$$, qui est un point de discontinuité, on a :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{(-1)^n}{1+n^2}\left( \cos(n\pi) - n\sin(n\pi) \right)\right)\right)$$
Or, on sait que, $$\forall n \in \mathbb{N}$$, l'on a $$\cos(n\pi) = (-1)^n$$ et que $$\sin(n\pi) = 0$$. Ainsi, on obtient :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{(-1)^n}{1+n^2}\left( (-1)^n - 0 \right)\right)\right)$$
Comme $$(-1)^n \times (-1)^n = \left((-1)^n\right)^2 =1$$, on trouve alors que :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{1+n^2}\right)\right)$$
Ainsi, on a :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( 1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{1+n^2}\right) {\color{blue}{+ 2}} - 2\right)$$
Soit :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( 1 + 2\sum_{{\color{blue}{n=0}}}^{+\infty} \left(<br />\dfrac{1}{1+n^2}\right)- 2\right)$$
Qui s'écrit aussi :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = \dfrac{\sinh(\pi)}{\pi} \left( -1 + 2\mathcal{S}\right)$$
D'où :
$$\mathcal{S} = \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{\pi}{\sinh(\pi)}\mathcal{SF}_f(x=\pi) \right)$$
Or, la fonction exponentielle est régulière, donc $$\mathcal{SF}_f(x=\pi)$$ converge. Cependant $$x=\pi$$ est un point de discontinuité, donc il faut faire intervenir la régularisée de $$f$$, qui est notée $$f^\star$$. La régularisée s'illustre par :

Ainsi $$\mathcal{SF}_f(x=\pi)$$ converge vers la régularisée $$f^*(x=\pi)$$. D'où :
$$\mathcal{SF}_f(x=\pi) = f^*(x=\pi) = \dfrac{e^\pi + e^{-\pi}}{2} = \cosh(\pi)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\mathcal{S} = \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{\pi}{\sinh(\pi)}\cosh(\pi) \right)$$
Soit encore :
$$\mathcal{S} = \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{\pi}{\tanh(\pi)} \right)$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{S} = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{1+n^2} = \dfrac{1}{2} \left( 1 + \pi \, \mathrm{cotanh}(\pi) \right) } }}}$$