Exercice 3 - Exercice 1

La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$ associée à $$f(x) = |\,x\,|$$ est déterminer par l'expression des trois coefficients réels $$a_0$$, $$a_n$$ et $$b_n$$ ($$n \in \mathbb{N}^*$$).
La fonction $$f : x \longmapsto |\,x\,|$$ est paire donc tous les coefficients réels $$b_n$$ ($$n \in \mathbb{N}^*$$) sont nuls.
On constate que $$f$$ est $$2\pi$$-périodique, on a alors :
$$a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |\,x\,| \, dx = \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\,x\,| \, dx = \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \, dx = \dfrac{2}{\pi} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = \dfrac{1}{\pi} \left[ x^2 \right]_{0}^{\pi} = \dfrac{1}{\pi} \pi^2$$
Donc :
$$a_0 = \pi$$
Puis, le coefficient réel $$a_n$$ est donné par l'expression :
$$a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi |\,x\,| \, \cos(nx) \, dx = \dfrac{2}{\pi} \int_0^\pi x \, \cos(nx) \, dx$$
A l'aide d'une intégration par parties, on trouve que :
$$a_n = \dfrac{2}{\pi} \left( \left[ \dfrac{x \, \sin(nx)}{n} \right]_0^\pi - \dfrac{1}{n} \int_0^\pi \sin(nx) \, dx \right) = - \dfrac{2}{n\pi} \int_0^\pi \sin(nx) \, dx$$
Soit :
$$a_n = \dfrac{2}{n^2\pi} [\cos(nx)]_0^\pi = \dfrac{2}{n^2\pi} \left( \cos(n\pi) - \cos(0) \right) = \dfrac{2}{n^2\pi} \left( (-1)^n -1 \right)$$
Il faut alors distinguer la parité de l'entier naturel $$n$$. On a :
- si $$n$$ est pair et on pose $$n=2p$$ avec $$p \in \mathbb{N}^*$$ alors :
$$(-1)^n = (-1)^{2p} = \left((-1)^2\right)^p = 1^p = 1$$
Donc, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a :
$$a_n = 0$$
- si $$n$$ est impair et on pose $$n=2p+1$$ avec $$p \in \mathbb{N}^*$$ alors :
$$(-1)^n = (-1)^{2p+1} = - 1$$
Donc, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a :
$$a_n = - \dfrac{4}{n^2\pi}$$
La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$ est donc caractérisée par le coefficient réel $$a_0$$ et les coefficients réels $$a_n$$, lorsque $$n$$ est impair. On a alors :
$$\mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p+1)^2} \cos\left((2p+1)x\right)$$
Comme l'indice $$p$$ est muet, on peut tout autant écrire que :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} \cos\left((2n+1)x\right)} }}}$$
Comme la fonction $$f$$ est $$2\pi$$-périodique, et qu'elle est régulière, dans ce cas, la série $$\mathcal{SF}_f(x)$$ converge vers $$f(x) = |\,x\,|$$. Ainsi, on peut écrire que :
$${\color{red}{{ \boxed{ |\,x\,| = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} \cos\left((2n+1)x\right)} }}}$$

Posons $$x=0$$. On a alors :
$$|\,0\,| = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} \cos\left((2n+1)\times 0\right)$$
Soit :
$$0 = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} \times 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{4}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} = \dfrac{\pi}{2}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{{ \boxed{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} =\dfrac{\pi^2}{8}} }}}$$

L'ensemble des entiers naturels se décompose en deux sous ensembles : celui des nombres paires et celui des nombres impairs. On a alors :
$$\mathcal{S}_2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p)^2} + \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p+1)^2} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p)^2} + \mathcal{S}_1$$
Mais, on remarque que :
$$\sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p)^2} = \dfrac{1}{4}\sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{p^2} = \dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{4} \mathcal{S}_2$$
D'où :
$$\mathcal{S}_2 = \dfrac{1}{4} \mathcal{S}_2 + \mathcal{S}_1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{3}{4}\mathcal{S}_2 = \mathcal{S}_1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{3}{4}\mathcal{S}_2 = \dfrac{\pi^2}{8} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 3\mathcal{S}_2 = \dfrac{\pi^2}{2}$$
Finalement :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{S}_2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} =\dfrac{\pi^2}{6} } }}}$$

Afin de déterminer la valeur numérique de la série $$\mathcal{S}_3$$, utilisons le théorème de Parseval. On a alors :
$$\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left[ f(x)\right]^2 \, dx = \dfrac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n^2 + b_n^2 \right)$$
Soit pour nous :
$$\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x^2 \, dx = \dfrac{\pi^2}{2} + \sum_{{{\color{blue}{n=0}}}}^{+\infty} \left( \left( -\dfrac{4}{(2n+1)^2\pi} \right)^2 + 0^2 \right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^\pi x^2 \, dx = \dfrac{\pi^2}{2} + \dfrac{16}{\pi^2} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^4}$$
Ce qui nous donne encore :
$$\int_{0}^\pi x^2 \, dx = \dfrac{\pi^3}{4} + \dfrac{8}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^4} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\pi^3}{3} = \dfrac{\pi^3}{4} + \dfrac{8}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^4}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{\pi^3}{3} - \dfrac{\pi^3}{4} = \dfrac{8}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^4} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\pi^3}{12} = \dfrac{8}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^4}$$
Finalement, on en déduit que :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{S}_3 = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^4} = \dfrac{\pi^4}{96} } }}}$$

L'ensemble des entiers naturels se décompose en deux sous ensembles : celui des nombres paires et celui des nombres impairs. On a alors :
$$\mathcal{S}_4 = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^4} = \sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p)^4} + \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p+1)^4} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{S}_4 = \dfrac{1}{16}\sum_{p=1}^{+\infty} \dfrac{1}{p^4} + \mathcal{S}_3$$
Mais, comme l'indice de sommation $$p$$ est un indice muet, on remarque que :
$$\mathcal{S}_4 = \dfrac{1}{16}\mathcal{S}_4 + \mathcal{S}_3 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \mathcal{S}_4 - \dfrac{1}{16}\mathcal{S}_4 = \mathcal{S}_3 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{15}{16}\mathcal{S}_4 = \dfrac{\pi^4}{96} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 15\mathcal{S}_4 = \dfrac{\pi^4}{6}$$
Finalement, on en déduit que :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{S}_4 = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^4} =\dfrac{\pi^4}{90} } }}}$$