Exercice 2 - Exercice 1

On a :
La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$ associée à $$f$$ est déterminée par l'expression des trois coefficients réels $$a_0$$, $$a_n$$ et $$b_n$$ ($$n \in \mathbb{N}^\star$$).
On constate que $$f$$ est $$2\pi$$-périodique, on a alors :
$$a_0 = \dfrac{1}{\pi} \left[ \int_0^\pi 1 \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} 0 \, dx \right] = \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi 1 \, dx = \dfrac{1}{\pi} \pi = 1$$
Puis, le coefficient réel $$a_n$$ est donné par l'expression :
$$a_n = \dfrac{1}{\pi} \left[ \int_0^\pi 1 \, \cos(nx) \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} 0 \, \cos(nx) \, dx \right] = \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi \, \cos(nx) \, dx = \dfrac{1}{\pi} \left[ \dfrac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi$$
Soit :
$$a_n = \dfrac{\sin(n\pi) - \sin (0)}{n\pi} = \dfrac{0-0}{n\pi}$$
Finalement, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a :
$$a_n = 0$$
La détermination du coefficient réel $$b_n$$ vous donne :
$$b_n = \dfrac{1}{\pi} \left[ \int_0^\pi 1 \, \sin(nx) \, dx +\int_{\pi}^{2\pi} 0 \, \sin(nx) \, dx \right] = \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi \, \sin(nx) \, dx = \dfrac{1}{\pi} \left[ -\dfrac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi$$
Soit :
$$b_n = \dfrac{1}{\pi} \left[ \dfrac{\cos(nx)}{n} \right]_\pi^0 = \dfrac{\cos(0) - \cos(n\pi)}{n\pi} = \dfrac{1 - (-1)^n}{n\pi}$$
Il faut alors distinguer la parité de l'entier naturel $$n$$. On a :
- si $$n$$ est pair et on pose $$n=2p$$ avec $$p \in \mathbb{N}^*$$ alors :
$$(-1)^n = (-1)^{2p} = \left((-1)^2\right)^p = 1^p = 1$$
Donc, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a :
$$b_n = 0$$
- si $$n$$ est impair et on pose $$n=2p+1$$ avec $$p \in \mathbb{N}^*$$ alors :
$$(-1)^n = (-1)^{2p+1} = - 1$$
Donc, $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$, on a :
$$b_n = \dfrac{2}{n\pi} = \dfrac{2}{(2p+1)\pi}$$
La série de Fourier $$\mathcal{SF}_f(x)$$ est donc caractérisée par le coefficient réel $$a_0$$ et les coefficients réels $$b_n$$, lorsque $$n$$ est impair. On a alors :
$$\mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi} \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p+1)} \sin\left((2p+1)x\right)$$
Comme l'indice $$p$$ est muet, on peut tout autant écrire que :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{SF}_f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)} \sin\left((2n+1)x\right)} }}}$$

Comme la fonction $$f$$ est $$2\pi$$-périodique, et qu'elle est régulière (ou lisse), elle satisfait au conditions de Dirichlet et dans ce cas, on a :
$$\mathcal{SF}_f(x) = f(x)$$
Posons alors $$x = \dfrac{\pi}{2}$$ dans l'expression précédente de $$\mathcal{SF}_f(x)$$. Or, en $$x = \dfrac{\pi}{2}\in [0\,;\,\pi]$$, donc $$f\left( \dfrac{\pi}{2} \right)=1$$ On a alors :
$$1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi} \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)} \sin\left((2n+1)\dfrac{\pi}{2} \right)$$
Soit :
$$1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi} \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)} (-1)^n$$
Ce qui nous donne finalement :
$${\color{red}{{ \boxed{ \mathcal{S} = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} = \dfrac{\pi}{4}} }}}$$