Exercice 14 - Exercice 1

Posons :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = X(x) \times Y(y) \times T(t)$$
Ainsi :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial t^2} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \dfrac{\partial^2 }{\partial t^2} \left( X(x) \times Y(y) \times T(t) \right) = X(x) \times Y(y) \times \dfrac{\partial^2 T}{\partial t^2} \left( t \right)$$
Soit :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial t^2} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = X(x) \times Y(y) \times \dfrac{d^2 T}{d t^2} \left( t \right) = X(x) \times Y(y) \times T''(t)$$
Donc :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial t^2} \left( x\,;\, y \,;\, t \right) = \dfrac{z\left( x \,;\, y \,;\, t \right)}{T(t)} \times T''(t)$$
Ainsi :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial t^2} = z \dfrac{T''}{T}$$
On a aussi :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} \left( X(x) \times Y(y) \times T(t) \right) = Y(y) \times T(t) \times \dfrac{\partial^2 X}{\partial x^2} \left( x \right)$$
Donc :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = Y(y) \times T(t) \times \dfrac{d^2 X}{d x^2} \left( x \right) = \dfrac{z\left( x \,;\, y \,;\, t \right)}{X(x)} \times X''(x)$$
Ainsi :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = z \dfrac{X''}{X}$$
On a également :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} \left( X(x) \times Y(y) \times T(t) \right) = X(x) \times T(t) \times \dfrac{\partial^2 Y}{\partial y^2} \left( y \right)$$
Donc :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = X(x) \times T(t) \times \dfrac{d^2 Y}{d y^2} \left( y \right) = \dfrac{z\left( x \,;\, y \,;\, t \right)}{Y(y)} \times Y''(y)$$
Ainsi :
$$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z \dfrac{Y''}{Y}$$
L'équation gouvernant les vibrations de la membrane devient :
$$z \dfrac{T''}{T} = c^2 \left( z \dfrac{X''}{X} + z \dfrac{Y''}{Y} \right)$$
Comme $$z$$ ne peut être nulle partout et tout le temps, on peut simplifier par cette quantité, globalement non nulle. Donc :
$$\dfrac{T''}{T} = c^2 \left( \dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y} \right)$$
Enfin, on obtient :
$$\dfrac{T''}{c^2 T} = \dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y}$$
Le terme de gauche à une variabilité temporelle alors que celui de droite une variabilité positionnelle. C'est pourquoi l'égalité que traduit cette équation ne peut être satisfaite que si chacun de ses membres de gauche et droit soit égal à une même constante réelle $$k$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{T''}{c^2 T} & = & k \\ & & \\ \dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y} & = & k \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{T''}{T} & = & c^2 k \\ & & \\ \dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y} & = & k \\ \end{array} \right.$$
Le terme $$c^2 k$$ est une quantité réelle et la présence du carré de $$c^2$$ nous suggère d'écrire $$k$$ sous la forme $$k = \pm \lambda^2$$ avec $$\lambda$$ qui est un nombre réel positif, et de fait $$\lambda^2 \geqslant 0$$. Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{T''}{T} & = & \pm (c \lambda)^2 \\ & & \\ \dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y} & = & \pm \lambda^2 \\ \end{array} \right.$$
$${\color{blue}{\bullet \,\,}}$$ Si $$k > 0$$ alors $$k = + \lambda^2$$ et on a :
$$\dfrac{T''}{T} = + (c \lambda)^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, T'' - (c\lambda)^2 T = 0$$
Donc, pour $$t \geqslant 0$$, on a :
$$T(t) = A \cosh (c \lambda t ) + B \sinh (c \lambda t ) \,\,\,\,\, (A \,;\, B) \in \mathbb{R}^2$$
Cependant, lorsque $$t \longrightarrow +\infty$$ les deux termes $$\cosh (c \lambda t )$$ et $$\sinh (c \lambda t )$$ se comportent (asymptotiquement) comme $$\dfrac{e^{c \lambda t}}{2}$$ et fait divergent car $$c > 0$$ et $$\lambda > 0$$. La divergence implique que la condition :
$$\forall t \in \mathbb{R}^+, \,\, \forall x \in \left[ 0 \,;\, 1 \right], \,\, \forall y \in \left[ 0 \,;\, 1 \right], \,\,\, \left\vert \, z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) \, \right\vert < K \,\, (K \in \mathbb{R}^+)$$
n'est pas satisfaite. Donc cette première situation $$k > 0$$ n'est physiquement pas possible.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\,}}$$ Si $$k = 0$$ alors $$\lambda^2 = 0$$ et on a :
$$\dfrac{T''}{T} = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, T'' = 0$$
Donc, pour $$t \geqslant 0$$, on a :
$$T(t) = At + B \,\,\,\,\, (A \,;\, B) \in \mathbb{R}^2$$
Lorsque $$t \longrightarrow +\infty$$ le terme $$At$$ diverge. Cette divergence implique que la condition $$(1)$$, à savoir
$$\forall t \in \mathbb{R}^+, \,\, \forall x \in \left[ 0 \,;\, 1 \right], \,\, \forall y \in \left[ 0 \,;\, 1 \right], \,\,\, \left\vert \, z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) \, \right\vert < K \,\, (K \in \mathbb{R}^+)$$
n'est pas satisfaite. Donc on en déduit que $$A = 0$$ et nous obtenons $$T(t) = B \in \mathbb{R}$$. Ainsi, on trouve que :
$$\dfrac{d T}{d t}(t) = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \ \,\,\,\, \dfrac{\partial z}{\partial t} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = 0$$
Dès lors les déplacements sont stationnaires. Ce qui signifie que la membrane du tambour ne bouge plus et qu'il n'y a plus de déplacement vertical dans le temps. Donc cette deuxième situation $$k = 0$$ n'est physiquement pas possible.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\,}}$$ Si $$k < 0$$ alors $$k = - \lambda^2$$ et on a :} }
$$\dfrac{T''}{T} = - (c \lambda)^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, T'' + (c\lambda)^2 T = 0$$
Donc, pour $$t \geqslant 0$$, on a :
$$T(t) = A \cos (c \lambda t ) + B \sin (c \lambda t ) \,\,\,\,\, (A \,;\, B) \in \mathbb{R}^2$$
Exploitons maintenant la condition $$(2)$$. On a :
$$v\left( x \,;\, y \,;\, t = 0 \right) = \left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) \right)_{t = 0} = 0$$
Donc :
$$\dfrac{\partial z}{\partial t} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \dfrac{z\left( x \,;\, y \,;\, t \right)}{T(t)} \times T'(t)$$
Ainsi :
$$\left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) \right)_{t = 0} = \dfrac{z\left( x \,;\, y \,;\, t=0 \right)}{T(t=0)} \times T'(t=0) = \dfrac{f\left( x \,;\, y \right)}{T(t=0)} \times T'(t=0)$$
On a alors :
$$v\left( x \,;\, y \,;\, t = 0 \right) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left( \dfrac{\partial z}{\partial t} \left( x \,;\, y \,;\, t \right) \right)_{t = 0} = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{f\left( x \,;\, y \right)}{T(t=0)} \times T'(t=0) = 0$$
Comme $$f\left( x \,;\, y \right)$$ n'est pas nulle (sinon cela signifie qu'il n'y a pas de déformation initialement) cela implique que $$T(t=0) \neq 0$$ et $$T'(t=0) = 0$$. Donc :
$$T'(t) = -A c \lambda \sin (c \lambda t ) + B c \lambda \cos (c \lambda t ) \,\,\,\,\, (A \,;\, B) \in \mathbb{R}^2$$
Ainsi :
$$T'(t=0) = B c \lambda \,\,\,\,\, (B \in \mathbb{R})$$
Comme $$\lambda \neq 0$$ alors la condition $$T'(t=0) = 0$$ impose $$B = 0$$. Et de fait :
$$T(t) = A \cos (c \lambda t ) \,\,\,\,\, (A \in \mathbb{R} )$$
Et on a $$T(t=0) = A$$ ce qui implique que $$A \in \mathbb{R}^\star$$.
On a donc :
$$\dfrac{X''}{X} + \dfrac{Y''}{Y} = - \lambda^2$$
Soit :
$$\dfrac{X''}{X} = - \dfrac{Y''}{Y} - \lambda^2$$
Le terme de gauche à une variabilité horizontale alors que celui de droite une variabilité verticale. C'est pourquoi l'égalité que traduit cette équation ne peut être satisfaite que si chacun de ses membres de gauche et droit soit égal à une même constante réelle $$K$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{X''}{X} & = & K \\ & & \\ - \dfrac{Y''}{Y} - \lambda^2 & = & K \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{X''}{X} & = & K \\ & & \\ \dfrac{Y''}{Y} + \lambda^2 & = & -K \\ \end{array} \right.$$
Ce qui précède nous suggère d'écrire $$q$$ sous la forme $$K = \pm \mu^2$$ avec $$\mu$$ qui est un nombre réel positif, et de fait $$\mu^2 \geqslant 0$$. Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{X''}{X} & = & \pm \mu^2 \\ & & \\ \dfrac{Y''}{Y} + \lambda^2 & = & \mp \mu^2 \\ \end{array} \right.$$
$${\color{blue}{\bullet \,\,}}$$ Si $$K > 0$$ alors $$K = + \mu^2$$ et on a :
$$\dfrac{X''}{X} = + \mu^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, X'' - \mu^2 X = 0$$
Donc, pour $$x \in [ 0 \,;\, 1]$$, on a :
$$X(x) = \mathcal{A} \cosh (\mu x ) + \mathcal{B} \sinh (\mu x ) \,\,\,\,\, (\mathcal{A} \,;\, \mathcal{B}) \in \mathbb{R}^2$$
Par hypothèse, la dépendance horizontale doit être bornée. Ceci n'est pas possible avec les fonctions hyperboliques. Donc cette première situation $$K > 0$$ n'est physiquement pas possible.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \,\,}}$$ Si $$K = 0$$ alors $$\pm \mu^2 = 0$$ et on a :
$$\dfrac{X''}{X} = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, X'' = 0$$
Donc, pour $$x \in [ 0 \,;\, 1]$$, on a :
$$X(x) = \mathcal{A} x + \mathcal{B} \,\,\,\,\, (\mathcal{A} \,;\, \mathcal{B}) \in \mathbb{R}^2$$
Par hypothèse, la dépendance horizontale doit être bornée. Ceci n'est pas possible avec une fonction affine. Donc cette deuxième situation $$K = 0$$ n'est physiquement pas possible.
$${\color{blue}{\bullet \bullet \bullet \,\,}}$$ Si $$q < 0$$ alors $$K = - \mu^2$$ et on a :
$$\dfrac{X''}{X} = - \mu^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, X'' + \mu^2 X = 0$$
Donc, pour $$x \in [ 0 \,;\, 1]$$, on a :
$$X(x) = \mathcal{A} \cos (\mu x ) + \mathcal{B} \sin (\mu x ) \,\,\,\,\, (\mathcal{A} \,;\, \mathcal{B}) \in \mathbb{R}^2$$
Par hypothèse, la dépendance horizontale doit être bornée. Ceci est possible avec les fonctions trigonométriques classiques. Ainsi on conserve la situation $$K < 0$$ correspondante à $$K = - \mu^2$$.
Ceci nous donne donc :
$$\dfrac{Y''}{Y} + \lambda^2 = - \big( - \mu^2 \big)$$
Donc :
$$\dfrac{Y''}{Y} + \lambda^2 = \mu^2$$
Soit encore :
$$\dfrac{Y''}{Y} = \mu^2 - \lambda^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, Y'' = - \left( \lambda^2 - \mu^2 \right) Y$$
D'où :
$$Y'' + \left( \lambda^2 - \mu^2 \right) Y = 0$$
Les solutions verticales $$Y$$ recherchées sont bien connues. Les formes qui seront physiquement acceptables imposent, d'après ce qui précède, que $$\lambda^2 - \mu^2 > 0$$. On a donc la forme analytique suivante :
$$Y(y) = C \cos\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) + D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \,\,\,\,\, (C \,;\, D) \in \mathbb{R}^2$$
On en déduit donc que :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \big( \mathcal{A} \cos (\mu x ) + \mathcal{B} \sin (\mu x ) \big) \times \big( C \cos\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) + D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Mais, par hypothèse, on sait que $$z\left( x=0 \,;\, y \,;\, t \right) =0$$. Donc :
$$0 = \big( \mathcal{A} \cos (0) + \mathcal{B} \sin (0) \big) \times \big( C \cos\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) + D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Soit :
$$0 = \big( \mathcal{A} + 0 \big) \times \big( C \cos\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) + D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Donc on en déduit que $$\mathcal{A} = 0$$. Ainsi :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \mathcal{B} \sin (\mu x ) \times \big( C \cos\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) + D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Mais, par hypothèse, on sait que $$z\left( x \,;\, y=0 \,;\, t \right) =0$$. Donc :
$$0 = \mathcal{B} \sin (\mu x ) \times \big( C \cos\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} 0 \right) + D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} 0 \right) \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Soit :
$$0 = \mathcal{B} \sin (\mu x ) \times \big( C \cos\left( 0 \right) + D\sin\left( 0 \right) \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Soit encore :
$$0 = \mathcal{B} \sin (\mu x ) \times \big( C + 0 \big) \times A \cos (c \lambda t )$$
Ceci impose d'avoir $$C = 0$$. Ce qui nous permet d'écrire que :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \mathcal{B} \sin (\mu x ) \times D\sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \times A \cos (c \lambda t )$$
En regroupant les constantes réelles, on obtient :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \mathscr{A} \sin (\mu x ) \times \sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \times \cos (c \lambda t ) \,\,\,\, \big( \mathscr{A} \in \mathbb{R} \big)$$
Puis, on a la condition $$z\left( x=1 \,;\, y \,;\, t \right) =0$$. Donc :
$$0 = \mathscr{A} \sin (\mu ) \times \sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} y \right) \times \cos (c \lambda t )$$
Ce qui implique que :
$$\mu = m \pi \,\,\,\, (m \in \mathbb{N})$$
Puis, on a la condition $$z\left( x \,;\, y=1 \,;\, t \right) =0$$. Donc :
$$0 = \mathscr{A} \sin (m \pi x ) \times \sin\left( \sqrt{\lambda^2 - \mu^2} \right) \times \cos (c \lambda t )$$
Ce qui implique également que :
$$\sqrt{\lambda^2 - \mu^2} = n \pi \,\,\,\, (n \in \mathbb{N})$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\lambda^2 - \mu^2 = n^2 \pi^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lambda^2 - m^2 \pi^2 = n^2 \pi^2\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lambda^2 = \left( n^2 + m^2 \right) \pi^2$$
Soit (comme cosinus est pair, le signe n'est pas important) :
$$\lambda = \sqrt{n^2 + m^2} \, \pi$$
Ainsi, on obtient l'expression physique et mathématique des déformations transversales de la membrane suivante :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \mathscr{A} \sin (m \pi x ) \times \sin\left( n \pi y \right) \times \cos (\sqrt{n^2 + m^2} \, \pi c t ) \,\,\,\, \big( \mathscr{A} \in \mathbb{R} \big)$$
Le fait d'avoir une élasticité linéaire implique que que toutes combinaisons linéaires de termes de la forme précédente, solution de l'équation étudiée sous les hypothèses qui cadrent cette étude, est également une solution mathématique qui est physiquement acceptable. Donc, en sommant sur toutes les valeurs possibles des entiers $$m$$ et $$k$$, on trouve que :
$$z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \sum_{m=1}^{+\infty} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \mathscr{A}_{nm} \sin (m \pi x ) \times \sin\left( n \pi y \right) \times \cos \left( \sqrt{n^2 + m^2} \, \pi c t \right) \right)$$
Avec $$\mathcal{A}_{mn} \in \mathbb{R}$$.
Puis, la condition
$$\forall x \in \left[ 0 \,;\,1 \right], \,\, \forall y \in \left[ 0 \,;\, 1 \right], \,\,\, z\left( x \,;\, y \,;\, t=0 \right) = f\left( x \,;\, y \right)$$
nous donne, donc avec $$t=0$$ et $$\cos(0)=1$$, la relation suivante :
$$\sum_{m=1}^{+\infty} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \mathscr{A}_{nm} \sin (m \pi x ) \times \sin\left( n \pi y \right) \right) = f\left( x \,;\, y \right)$$
Soit :
$$\sum_{m=1}^{+\infty} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \mathscr{A}_{nm} \sin\left( n \pi y \right) \right) \sin (m \pi x ) = f\left( x \,;\, y \right)$$
Posons alors :
$$\mathscr{B}_m = \sum_{n=1}^{+\infty} \mathscr{A}_{nm} \sin\left( n \pi y \right)$$
D'où :
$$\sum_{m=1}^{+\infty} \mathscr{B}_m \sin (m \pi x ) = f\left( x \,;\, y \right)$$
Il apparaît alors clairement un développement en série de Fourier sur une période de $$1$$. De fait, on a immédiatement l'expression du coefficient $$\mathscr{B}_m$$
$$\mathscr{B}_m = 2 \int_0^1 f(x\,;\,y) \sin (m \pi x ) \, dx$$
Cette dernière relation montre que $$\mathscr{B}_m$$ est une fonction $$1$$-périodique de la variable $$y$$. Donc, la relation $$\mathscr{B}_m(y) = \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}} \mathscr{A}_{nm} \sin\left( n \pi y \right)$$ est un développement en série de Fourier dont les coefficients $$\mathscr{A}_{nm}$$ sont donnés par l'expression suivante :
$$\mathscr{A}_{nm} = 2 \int_0^1 \mathscr{B}_m(y) \sin (n \pi y ) \, dy$$
De fait, on en déduit que :
$$\mathscr{A}_{nm} = 2 \int_0^1 2 \int_0^1 f(x\,;\,y) \sin (m \pi x ) \, dx \, \sin (n \pi y ) \, dy$$
Soit :
$$\mathscr{A}_{nm} = 4 \int_0^1 \int_0^1 f(x\,;\,y) \sin (m \pi x ) \, \sin (n \pi y ) \, dx \, dy$$

Finalement, la solution théorique globale est donnée par la formule suivante :
$${\color{red}{ \boxed{ \begin{array}{l} z\left( x \,;\, y \,;\, t \right) = \\ \\ 4 \displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}} \left( \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}} \left( \left( \int_0^1 \int_0^1 f(x\,;\,y) \sin (m \pi x ) \, \sin (n \pi y ) \, dx \, dy \right) \sin (m \pi x ) \times \sin\left( n \pi y \right) \times \cos \left( \sqrt{n^2 + m^2} \, \pi c t \right) \right) \right) \end{array} } }}$$
$$\looparrowright \,\,$$ $$\textbf{Remarque :}$$
Les fréquences $$f_{m,n}$$ de vibrations de la membrane du tambour vont être déterminées par le terme en dépendance temporelle, à savoir $$\cos \left( \sqrt{n^2 + m^2} \, \pi c t \right)$$.
Si on note par $$\omega_{m,n}$$ les pulsations associées à ces vibrations, on a alors :
$$\cos(c\sqrt{n^2 + m^2} t) = \cos( \omega_{m,n} t)$$
Donc :
$$\omega_{m,n} = c \pi \sqrt{n^2 + m^2}$$
Ce qui nous donne :
$$2 \pi f_{m,n} = c \pi\sqrt{n^2 + m^2}$$
Ainsi, les fréquences $$f_{m,n}$$ de vibrations de la membrane du tambour sont données par l'expression :
$$f_{m,n} = \dfrac{c}{2} \sqrt{n^2 + m^2}$$
Si on désigne par $$\tau$$ la tension linéique de la membrane et par $$\sigma$$ la masse surfacique de cette même membrane, alors Avec la vitesse longitudinale $$c$$ est donnée par la formule :
$$c = \sqrt{\dfrac{\tau}{\sigma}}$$
D'un point de vue graphique, voici la représentation tridimensionnelle de la vibration $$n =2$$ et $$m=2$$ à un instant $$t$$ fixé de la membrane carrée de ce tambour :