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Exercice 11 - Exercice 1

1 h 30 min
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L'objectif de cet exercice est la réalisation d'une étude pour comprendre l'apport de la modélisation mathématique pour la description et donc la compréhension d'un phénomène physique.
La thermodynamique apporte en cadre conceptuel macroscopique qui permet de décrire la dynamique engendrée par les échanges thermiques. De part son cadre, elle offre des situations ou en lien avec l'application des Mathématiques.
En mathématiques et en physique théorique, l'équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique. Elle permet de décrire le phénomène physique de conduction thermique, introduite initialement en 1811 par le mathématicien français Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 -1830).

La modélisation de l'évolution de la température a permis d'introduire les séries de Fourier, qui ont apportées une grande amélioration à la modélisation mathématique des phénomènes, en particulier pour les fondements de la thermodynamique, et qui ont entrainé aussi des travaux mathématiques très importants pour les rendre rigoureuses. Ce fut donc une véritable révolution à la fois physique et mathématique, sur plus d'un siècle.
La célèbrissime équation, dite de la chaleur, est la suivante :
∂∂tT(x ; y ; z ; t)=hΔT(x ; y ; z ; t)\dfrac{\partial}{\partial t} T(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = h \Delta T(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t)
où hh s'appelle le appelle coefficient de diffusivité thermique, et s'exprime en m2/sm^2/s.
▶  \blacktriangleright \,\, Hypotheˋses\textbf{Hypothèses} :
On envisage un système physique dont l'évolution thermique est unidirectionnelle et donc ne dépend géométriquement que de la variable x.
En outre, lors de l'évolution du champ de température, cette dernière est
instationnaire{\color{red}{\textbf{instationnaire}}} et borneˊe{\color{red}{\textbf{bornée}}}.
La trempe est une opération métallurgique qui fait partie des traitements thermiques. Elle consiste à chauffer un matériau à une température dite de changement de phase ou bien de mise en solution de composés chimiques, selon l'objet de la trempe, pendant le temps nécessaire à la transformation de toute la masse chauffée. Puis à refroidir toute cette masse à une vitesse suffisante pour emprisonner des éléments chimiques qui ont pu se diffuser dans le solide cristallin à haute température lors de la transformation inverse.
Cette technique contribue à l'augmentation de certaines caractéristiques mécaniques de la pièce trempée.
Les avantages sont :
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} emploi d'acier ordinaire à la place d'acier pour cémentation ;
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} chauffage très localisé, rapide et économique ;
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} pas de déformation de la pièce ;
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} trempe en série sur machine d'induction ;
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} procédé non polluant.
On considère une plaque métallique rectangulaire de largeur ℓ\ell de longueur LL et d'épaisseur ee. Cette plaque est chauffeˊe uniformeˊment\textbf{chauffée uniformément} et amenée à la température T0T_0. La direction de la longueur sera celle des abscisses xx. L'origine géométrique OO est indiquée sur le schéma ci-dessous :

Afin de lui faire subir une trempe, elle va être plongée (par roulement et basculement), dans de l'eau (par sa petite surface eℓe\ell) à la température TeauT_{eau} inférieure à T0T_0. L'instant de la trempe sera considéré comme origine des temps t0=0t_0=0.
On introduit les deux grandeurs sans dimension, θ(x ; t)\theta(x\,;\,t) et XX, suivantes :
θ(x ; t)=T(x ; t)−TeauT0−Teau          et          X=xL\theta(x\,;\,t) = \dfrac{T(x\,;\,t) - T_{eau}}{T_0 - T_{eau}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, X = \dfrac{x}{L}
Ainsi on définit la fonction θ\theta de la manière suivante :
θ:{[0 ; L]×R+⟶R+(x ; t)⟼θ(x ; t)\theta : \left\lbrace \begin{array}{rcl} [0\,;\,L] \times \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R}^+ \\ & & \\ (x\,;\,t) & \longmapsto & \theta(x\,;\,t) \\ \end{array} \right.

Question 1
↬  \looparrowright \,\, L’hommage d’Henri Poincareˊ :\textbf{L'hommage d'Henri Poincaré :}
" la Théorie de la Chaleur de Fourier est un des premiers exemples d'application de l'analyse à la physique [...]. Les résultats qu'il a obtenus sont certes intéressants par eux-mêmes, mais ce qui l'est plus encore est la méthode qu'il a employée pour y parvenir et qui servira toujours de modèle à tous ceux qui voudront cultiver une branche quelconque de la physique mathématique."


Écrire l'équation de la chaleur vérifiée par la fonction température TT.

Correction
L'équation de la chaleur vérifiée par la fonction température TT est :
∂T∂t(x ; t)=h∂2T∂x2(x ; t){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = h \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) } }}
Elle est associée à la figure suivante :

Question 2

Interrogez-vous sur les éléments de vocabulaire présents dans les hypothèses.

Correction
Les éléments de vocabulaire qui sont présents dans les Hypotheˋses\textbf{Hypothèses} sont :

∙  Unidirectionnelle\bullet \,\, \textbf{Unidirectionnelle} : Les conditions de bord (dit en bain thermique) ainsi que la symétrie de la plaque, implique une propagation uniquement dans la direction xx. La direction de l'augmentation de la température (est celle du gradient de température) et est opposée à celle du flux thermique. C'est ceci qui explique le signe −- dans la loi phénoménologique de \textit{Fourier}.
∙  Instationnaire\bullet \,\, \textbf{Instationnaire} : La décroissance de la température, au fur et à mesure que le temps s'écoule, est prise en compte dans la modélisation.
∙  Borneˊe\bullet \,\, \textbf{Bornée} : La température, en chaque instant et en chaque endroit géométrique de la plaque, à une valeur réelle différente de l'infinie. Physiquement, la température est minorée par TeauT_{eau} et majorée par T0T_0. Ainsi la température est bien « encadrée », on dit qu'elle est bornée. En ce qui concerne la température adimensionnée, on a 0⩽θ(x ; t)⩽10 \leqslant \theta(x\,;\,t) \leqslant 1 ; donc elle est bornée également.
Question 3

Interrogez-vous sur l'intérêt d'introduire des variables sans dimension.

Correction
L'intérêt d'introduire des variables sans dimensions est de pouvoir trouver des solutions qui ne dépendent pas des caractéristiques physiques de la plaque. Ainsi, pour cette géométrie, les variables sans dimensions permettent d'écrire des solutions universelles, et qui sont graphiquement représentables et valables, indépendamment des distances et des valeurs de températures.
Question 4

En considérant un plan transversal rectangulaire x=xpx=x_p, avec xp∈[0 ; L]x_p \in [0\,;\,L], justifier que la fonction adimensionnée θ\theta y soit uniforme.

Correction
La barre chauffée chute brutalement dans de l'eau plus froide. Elle est donc totalement immergée dans l'eau froide. Ainsi, par symétrie, ce refroidissement s'effectue de façon identique sur la frontière d'un plan transversal rectangulaire x=xpx=x_p, avec xp∈[0 ; L]x_p \in [0\,;\,L], De ceci, on en déduit que la température y sera uniforme à l'intérieur de ce plan. Et de ce fait, la fonction adimensionnée θ\theta y soit également uniforme.
Question 5

Écrire l'équation de la chaleur vérifiée par la fonction adimensionnée θ\theta.

Correction
On a :
θ(x ; t)=T(x ; t)−TeauT0−Teau          ⟺          T(x ; t)=(T0−Teau)θ(x ; t)+Teau\theta(x\,;\,t) = \dfrac{T(x\,;\,t) - T_{eau}}{T_0 - T_{eau}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, T(x\,;\,t) = (T_0 - T_{eau})\theta(x\,;\,t) + T_{eau}
D'où :
∂T∂t(x ; t)=(T0−Teau)∂θ∂t(x ; t)\dfrac{\partial T}{\partial t}(x\,;\,t) = (T_0 - T_{eau})\dfrac{\partial \theta}{\partial t}(x\,;\,t)
Et :
∂2T∂x2(x ; t)=(T0−Teau)∂2θ∂x2(x ; t)\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x\,;\,t) = (T_0 - T_{eau})\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}(x\,;\,t)
Ainsi, l'équation de la chaleur devient :
(T0−Teau)∂θ∂t(x ; t)=h(T0−Teau)∂2θ∂x2(x ; t)(T_0 - T_{eau})\dfrac{\partial \theta}{\partial t}(x\,;\,t) = h(T_0 - T_{eau})\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}(x\,;\,t)
Finalement l'équation de la chaleur, vérifiée par la fonction adimensionnée θ\theta, est :
∂θ∂t(x ; t)=h∂2θ∂x2(x ; t){\color{red}{ \boxed{ \dfrac{\partial \theta}{\partial t}(x\,;\,t) = h \dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}(x\,;\,t) } }}
Question 6

Justifier de la périodicité spatiale de la fonction θ\theta dans la direction des abscisses.

Correction
Les conditions de bords aux abscisses x=0x=0 et x=Lx=L, qui sont ∀t⩾0,  T(x=0 ; t)=T(x=L ; t)=Teau\forall t \geqslant 0, \,\, T(x=0\,;\,t) = T(x=L\,;\,t) = T_{eau}, ou encore θ(x=0 ; t)=θ(x=L ; t)=0\theta(x=0\,;\,t) = \theta(x=L\,;\,t)=0, impliquent la périodicité spatiale de la fonction θ\theta dans la direction des abscisses.
Question 7

Justifier de l'emploi de la méthode dite des variables seˊpareˊes\textit{des variables séparées} dans cette situation.

Correction
La périodicité spatiale est indépendante du temps (comme le montre la question précédente), donc la \textit{méthode des variables séparées} est dans cette situation une démarche intellectuelle pertinente. Dans ce cas, on posera : θ(x ; t)=X(x)×T(t)\theta(x\,;\,t)= {\color{red}{X(x)}} \times {\color{blue}{T(t)}}.
Question 8

Démontrer que la température T(x ; t)T(x\,;\,t) dans la plaque se modélise par l'expression :
T(x ; t)=Teau+4π(T0−Teau)∑k=0+∞12k+1sin⁡((2k+1)πxL)e−(2k+1)2π2hL2tT(x\,;\,t) = T_{eau} + \dfrac{4}{\pi}(T_0 - T_{eau}) \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2k+1} \sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) e^{-\frac{(2k+1)^2 \pi^2 h}{L^2}t}

Correction
L'équation vérifiée par θ(x ; t)\theta(x\,;\,t) prend la forme suivante :
X(x)∂∂tT(t)=hT(t)∂2∂x2(x ; t)X(x){\color{red}{X(x)}} \dfrac{\partial}{\partial t}{\color{blue}{T(t)}} = h {\color{blue}{T(t)}}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(x\,;\,t){\color{red}{X(x)}}
En divisant par θ(x ; t)=X(x)×T(t)\theta(x\,;\,t)= {\color{red}{X(x)}} \times {\color{blue}{T(t)}} on trouve que :
1hT(t)∂∂tT(t)=1X(x)∂2∂x2(x ; t)X(x)\dfrac{1}{h{\color{blue}{T(t)}}}\dfrac{\partial}{\partial t}{\color{blue}{T(t)}} = \dfrac{1}{{\color{red}{X(x)}}} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}(x\,;\,t){\color{red}{X(x)}}
Les deux membres dépendant de deux variables différentes, l'unique possibilité pour avoir une égalité est que chacun soit égale à une constante λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. On a alors :
{1hT(t)T′(t)=λ1X(x)X′′(x)=λ      ⟺      {T′(t)=λhT(t)X′′(x)=λX(x)\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{h {\color{blue}{T(t)}}} {\color{blue}{T'(t)}} & = & \lambda \\ & & \\ \dfrac{1}{{\color{red}{X(x)}}}{\color{red}{X''(x)}} & = & \lambda \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{blue}{T'(t)}} & = & \lambda h {\color{blue}{T(t)}} \\ & & \\ {\color{red}{X''(x)}} & = & \lambda {\color{red}{X(x)}} \\ \end{array} \right.
Ce qui nous donne :
{T′(t)−λhT(t)=0X′′(x)−λX(x)=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{blue}{T'(t)}} - \lambda h {\color{blue}{T(t)}}& = & 0 \\ & & \\ {\color{red}{X''(x)}} - \lambda {\color{red}{X(x)}} & = & 0 \\ \end{array} \right.
La périodicité spatiale implique nécessairement d'avoir des solutions X(x)X(x) qui soient périodiques. De ce fait, la seule possibilité est d'avoir λ<0\lambda <0 . C'est pourquoi on pose λ=−ω2\lambda=-\omega^2 avec ω∈R∗\omega \in \mathbb{R}^*. Donc, on obtient :
{T′(t)+ω2hT(t)=0X′′(x)+ω2X(x)=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{blue}{T'(t)}} + \omega^2 h {\color{blue}{T(t)}}& = & 0 \\ & & \\ {\color{red}{X''(x)}} +\omega^2 {\color{red}{X(x)}} & = & 0 \\ \end{array} \right.
L'équation de X(x){\color{red}{X(x)}} est une équation différentielle du deuxième ordre, homogène et à coefficients constants. Les solutions sont évidentes et s'écrivent, avec (A ; B)∈R2(A\,;\,B) \in \mathbb{R}^2 :
X(x)=Acos⁡(ωx)+Bsin⁡(ωx){\color{red}{X(x)}} = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x)
Or, on a θ(x=0 ; t)=θ(x=L ; t)=0\theta(x=0\,;\,t)=\theta(x=L\,;\,t)=0. Ainsi on en déduit que :
θ(x=0 ; t)=0     ⟺     X(x=0)=0\theta(x=0\,;\,t) = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, {\color{red}{X(x=0)}} = 0
D'où :
Acos⁡(ω0)+Bsin⁡(ω0)=0     ⟺     A×1+B×0=0A \cos(\omega 0) + B \sin(\omega 0)=0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, A \times 1 + B \times 0 = 0
Ce qui implique :
A=0A = 0
Ainsi :
X(x)=Bsin⁡(ωx){\color{red}{X(x)}} = B \sin(\omega x)
Puis, la condition θ(x=L ; t)=0\theta(x=L\,;\,t)=0 nous permet d'écrire :
X(x=L)=0     ⟺     sin⁡(ωL)=0     ⟺     ωL=nπ   (n∈N∗){\color{red}{X(x=L)}} = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \sin(\omega L) = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \omega L = n \pi \,\,\, (n \in \mathbb{N}^*)
Ainsi, on en déduit que :
ω=nπL{\color{red}{ \boxed{\omega = \dfrac{n\pi}{L}} }}
D'où :
X(x)=Bsin⁡(nπxL){\color{red}{X(x)}} = B \sin\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)
En un instant tt donné, la température de la plaque, en son plan médian, donc en x=L2x=\dfrac{L}{2} est nécessairement différente de TeauT_{eau}. Autrement dit la température adimensionnée ne sera pas nulle dans le plan médian (elle y sera d'ailleurs maximale). Ainsi, on en déduit que :
X(x=L2)≠0     ⟺     Bsin⁡(nπL2L)≠0     ⟺     Bsin⁡(nπ2)≠0{\color{red}{X\left(x=\dfrac{L}{2}\right)}} \neq 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, B \sin\left( \dfrac{n\pi L}{2L} \right) \neq 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, B \sin\left( \dfrac{n\pi}{2} \right) \neq 0
Comme BB doit être non nul, sinon, il n'y aura jamais de phénomène périodique, on en déduit que :
sin⁡(nπ2)≠0     ⟹     n=2k+1   (k∈N)\sin\left( \dfrac{n\pi}{2} \right)\neq 0 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, n = 2k+1 \,\,\, (k \in \mathbb{N})
D'où :
ω=(2k+1)πL{\color{red}{ \boxed{\omega = \dfrac{(2k+1)\pi}{L}} }}
D'où :
X(x)=Bsin⁡((2k+1)πxL){\color{red}{X(x)}} = B \sin\left( \dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right)
Dès lors, on peut écrire que :
T′(t)+(2k+1)2π2L2hT(t)=0{\color{blue}{T'(t)}} + \dfrac{(2k+1)^2\pi^2}{L^2} h {\color{blue}{T(t)}} = 0
L'équation de T(t){\color{blue}{T(t)}} est une équation différentielle du premier ordre, homogène et à coefficients constants. Les solutions sont évidentes et s'écrivent, avec K∈R\mathcal{K}\in \mathbb{R} :
T(t)=Ke−(2k+1)2π2L2ht{\color{blue}{T(t)}} = \mathcal{K} e^{-\frac{(2k+1)^2\pi^2}{L^2}ht}
Ce qui implique que la température adimensionnée prenne la forme mathématique suivante :
θ(x ; t)=Msin⁡((2k+1)πxL)e−(2k+1)2π2L2ht    avec  M=BK\theta(x\,;\,t) = M \sin\left( \dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) e^{-\frac{(2k+1)^2\pi^2}{L^2}ht} \,\,\,\, \mathrm{avec} \,\, M = B \mathcal{K}
Or, l'équation que vérifie θ(x ; t)\theta(x\,;\,t) est lineˊaire{\color{red}{\textbf{linéaire}}}, donc une combinaison linéaire des formes mathématiques précédentes est toujours solution. Ce qui revient à « balayer » toutes les valeurs de kk possible. Pour une valeur de kk donnée, la solution s'appelle un  harmonique{\color{blue}{un \,\, harmonique}}. De ce fait, la solution globale est de la forme :
θ(x ; t)=∑k=0+∞Mksin⁡((2k+1)πxL)e−(2k+1)2π2hL2t       avec  Mk∈R\theta(x\,;\,t) = \sum_{k=0}^{+\infty} M_k\sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) e^{-\frac{(2k+1)^2 \pi^2 h}{L^2}t} \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{avec} \,\, M_k \in \mathbb{R}
Il ne reste plus qu'à déterminer l'expression des coefficients MkM_k. Pour faire cela, on va se souvenir qu'à l'instant initial t=0t=0, la température est en chaque endroit de la plaque est T(x ; t=0)=T0T(x\,;\,t=0)=T_0, soit, ∀x∈[0 ; L]\forall x \in [0\,;\,L], on obtient : θ(x ; t=0)=1\theta(x\,;\,t=0)=1. Ceci nous permet d'écrire (avec e0=1e^0=1) :
θ(x ; t=0)=∑k=0+∞Mksin⁡((2k+1)πxL)       avec  Mk∈R\theta(x\,;\,t=0) = \sum_{k=0}^{+\infty} M_k\sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{avec} \,\, M_k \in \mathbb{R}
On reconnait une série de Fourier\textit{Fourier} associée θ(x ; t=0)\theta(x\,;\,t=0). Cette dernière ne fait apparaître que la contribution des sinus, donc θ(x ; t=0)  est  impaire{\color{red}{\theta(x\,;\,t=0) \,\, est \,\, impaire}}.
Il nous reste à déterminer la période spatiale associée à cette propagation de chaleur. On a une situation du type :

Ceci implique que la périodicité spatiale est égale au double de la longueur de la plaque, à savoir 2L2L, donc la demi-période est la longueur de la barre elle même LL. Ce qui nous permet d'écrire :
Mk=1L∫−LLθ(x ; t=0)sin⁡((2k+1)πxL) dx=2L∫0Lθ(x ; t=0)sin⁡((2k+1)πxL) dxM_k = \dfrac{1}{L} \int_{-L}^L \theta(x\,;\,t=0) \sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) \, dx = \dfrac{2}{L} \int_0^L \theta(x\,;\,t=0) \sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) \, dx
Soit encore :
Mk=2L∫0L1sin⁡((2k+1)πxL) dx=2L∫0Lsin⁡((2k+1)πxL) dxM_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L 1 \sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) \, dx = \dfrac{2}{L} \int_0^L \sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) \, dx
D'où :
Mk=2L[−cos⁡((2k+1)πxL)(2k+1)πL]0L=−2(2k+1)π[cos⁡((2k+1)πxL)]0LM_k = \dfrac{2}{L} \left[ \dfrac{- \cos \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right)}{\dfrac{(2k+1)\pi}{L}} \right]_0^L = \dfrac{-2}{(2k+1)\pi} \left[ \cos \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right)\right]_0^L
Ainsi, on obtient :
Mk=−2(2k+1)π(cos⁡((2k+1)πLL)−cos⁡((2k+1)π0L))M_k = \dfrac{-2}{(2k+1)\pi} \left( \cos \left(\dfrac{(2k+1)\pi L}{L} \right) - \cos \left(\dfrac{(2k+1)\pi 0}{L} \right) \right)
On peut donc écrire que :
Mk=−2(2k+1)π(cos⁡((2k+1)π)−1)M_k = \dfrac{-2}{(2k+1)\pi} \left( \cos \left((2k+1)\pi \right) - 1 \right)
Or, on sait que cos⁡((2k+1)π)=−1\cos \left((2k+1)\pi \right) = -1, donc :
Mk=−2(2k+1)π(−2)       ⟺       Mk=4(2k+1)πM_k = \dfrac{-2}{(2k+1)\pi} (-2) \,\,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, {\color{red}{\boxed{M_k = \dfrac{4}{(2k+1)\pi}}}}
On peut donc écrire que :
θ(x ; t)=4π∑k=0+∞12k+1sin⁡((2k+1)πxL)e−(2k+1)2π2hL2t\theta(x\,;\,t) = \dfrac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2k+1}\sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) e^{-\frac{(2k+1)^2 \pi^2 h}{L^2}t}
Finalement, on a bien démontrer que la température T(x ; t)T(x\,;\,t) dans la plaque se modélise par l'expression :
T(x ; t)=Teau+4π(T0−Teau)∑k=0+∞12k+1sin⁡((2k+1)πxL)e−(2k+1)2π2hL2t{\color{red}{ \boxed{ T(x\,;\,t) = T_{eau} + \dfrac{4}{\pi}(T_0 - T_{eau}) \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2k+1} \sin \left(\dfrac{(2k+1)\pi x}{L} \right) e^{-\frac{(2k+1)^2 \pi^2 h}{L^2}t} } }}
Question 9

Interpréter et analyser votre résultat. L'usage d'un logiciel de représentation graphique (du type Matlab\textit{Matlab}, Maple\textit{Maple}, Mathematica\textit{Mathematica}, Maxima\textit{Maxima}, Mathcad\textit{Mathcad}, Scilab\textit{Scilab}, Xcas\textit{Xcas} ou tout autre) de la grandeur θ(x ; t)\theta(x\,;\,t) peut s'avérer pertinent. Pour cela vous définirez un temps caractéristique τ\tau (donc qui a les dimensions d'un temps), puis vous poserez la grandeur adimensionnée tt suivante :
t=tτ\mathfrak{t}= \dfrac{t}{\tau}

Correction
Pour interpréter et analyser ce résultat, il faut utiliser les variable réduite, ainsi on s'affranchit de la géométrie particulière de la plaque étudiée.
C'est pourquoi il faut introduire une distance sans dimension, notée XX, ainsi qu'en temps également sans dimension, noté quant à lui t\mathfrak{t}.
En ce qui concerne la distance, on pose (car LL est une distance caractéristique de la géométrie de la propagation au sein de la plaque):
X=xLX = \dfrac{x}{L}
En ce qui concerne un temps caractéristique τ\tau de la propagation au sein de la plaque, il suffit de se souvenir qu'une exponentielle est toujours sans dimension\textbf{toujours sans dimension}. On en déduit alors que :
τ=L2π2h\tau = \dfrac{L^2}{\pi^2h}
Donc un temps sans dimension caractéristique de cette propagation de chaleur est :
t=tτ=tL2π2h=π2htL2\mathfrak{t} = \dfrac{t}{\tau} = \dfrac{t}{\dfrac{L^2}{\pi^2h}} = \dfrac{\pi^2 h t}{L^2}
Ce qui nous donne donc :
θ(X ; t)=4π∑k=0+∞12k+1sin⁡((2k+1)πX)e−(2k+1)2t{\color{blue}{ \boxed{ \theta(X\,;\,\mathfrak{t}) = \dfrac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1} {2k+1}\sin \left((2k+1)\pi X \right) e^{-(2k+1)^2 \mathfrak{t}} } }}
Mode fondamental \textbf{Mode fondamental }: k=0k=0 (parfaitement symétrique par rapport au milieu de barre) :

Premier harmonique\textbf{Premier harmonique} : k=1k=1 (parfaitement symétrique par rapport au milieu de barre) :

La superposition des 31 premiers modes de propagations\textbf{La superposition des 31 premiers modes de propagations} k=0 ; 1 ; 2 ;⋯ ; 30k=0\,;\,1\,;\,2 \, ; \cdots ;\, 30 (parfaitement symétrique par rapport au milieu de barre et comprise entre 0 et 1) et mettant clairement en évidence un comportement plus « collectifs » des modes de propagations :

La superposition des 201 premiers modes de propagations\textbf{La superposition des 201 premiers modes de propagations} k=0 ; 1 ; 2 ;⋯ ; 200k=0\,;\,1\,;\,2 \, ; \cdots ;\, 200 (parfaitement symétrique par rapport au milieu de barre et comprise entre 0 et 1) et mettant clairement en évidence un comportement plus « collectifs » des modes de propagations :

Le comportement limite en créneau (exponentiellement décroissant temporellement) est confirmé. Nous sommes aux limites thermoélastiques physiquement possibles pour une barre de métal surchauffée. Cela peut se confirmer visuellement sur la photo du sujet : couleur (quasi uniforme) dans le plan de face.
Les harmoniques des ordres élevés disparaissent quasiment immédiatement (t⟶0)(\mathfrak{t} \longrightarrow 0) et seul le mode fondamental perdure en t\mathfrak{t}.

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