Exercice 1 - Exercice 1

On note par $$\mathrm{i}$$ le nombre complexe tel que $$\mathrm{i}^2 = -1$$.
$${\color{red}{ \bf{ 1 - Séries \,\, trigonométriques}}}$$
$${\color{blue}{ \bf{1.1 \,\, Définition - séries \,\, trigonométriques}}}$$
On appelle série trigonométrique, à valeurs dans $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, une série de fonctions d'une variable réelle $$x$$ de la forme :
$$a_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$
Et $$(a_{n \in \mathbb{N}})$$ et $$(b_{n \in \mathbb{N}})$$ sont des suites de nombres réels ou complexes.
On a les propriétés suivantes :
- si une série trigonométrique est convergente, alors sa somme est une fonction $$2\pi$$-périodique ;
- si $$a_1$$ ou $$b_1$$ n'est pas nul alors la plus petite période de la fonction définie par la somme d'une série trigonométrique convergente est $$2\pi$$ ;
- si tous les coefficients $$a_n$$ sont nuls, alors la somme d'une série trigonométrique convergente est une fonction paire ;
- si tous les coefficients $$b_n$$ sont nuls, alors la somme d'une série trigonométrique convergente est une fonction impaire ;
- Il existe une forme complexe équivalente :
$$\sum_{n = 0}^{+\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n \, e^{\mathrm{i} nx}$$
avec $$c_0 = a_0$$ et pour $$n \in \mathbb{N}^\star$$, on a d'une part $$c_n = \dfrac{1}{2} (a_n - \mathrm{i} \, b_n)$$, et d'autre part $$c_{-n} = \dfrac{1}{2} (a_n + \mathrm{i} \, b_n)$$
On peut donc, facilement, passer d'une formulation réelle à une formulation complexe et inversement. En effet, on a $$a_0 = c_0$$ mis également :
$$a_n = c_n + c_{-n} \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, b_n = \mathrm{i} \, \big( c_n - c_{-n} \big)$$
$${\color{red}{ \bf{ 2 - Séries \,\, de \,\, Fourier}}}$$
$${\color{blue}{ \bf{2.1 \,\, Définition - séries \,\, de \,\, Fourier}}}$$
Soit $$f$$ une fonction d'une variable réelle à valeur réelles ou complexes, qui est $$2\pi$$- périodique et continues par morceaux.
On appelle $${\color{red}{ \bf{coefficients \,\, de \,\, Fourier \,\, trigonométriques}}}$$ de $$f$$ les nombres, réels ou complexes suivants :
$$\forall n \in \mathbb{n}, \,\,\, a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, \mathrm{d}x \,\,\, \mathrm{et} \,\,\, b_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, \mathrm{d}x$$
On appelle $${\color{red}{ \bf{coefficients \,\, de \,\, Fourier \,\, exponentiels}}}$$ de $$f$$ les nombres complexes suivants :
$$\forall n \in \mathbb{Z}, \,\,\, c_n = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{- \mathrm{i} nx} \, \mathrm{d}x$$
On appelle $${\color{red}{ \bf{série \,\, de \,\, Fourier \,\, trigonométriques}}}$$ de $$f$$ la série de fonction suivante :
$$\dfrac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$
- Remarque 1 : les fonctions intégrées étant $$2\pi$$-périodique, il est possible de remplacer l'intervalle d'intégration $$[0 \,;\, 2\pi]$$ par n'importe quel autre intervalle de longueur $$2\pi$$. Dans la cas d'une fonction $$f$$ paire ou impaire il peut être judicieux de faire usage de l'intervalle d'intégration $$[-\pi \,;\, \pi]$$.
- Remarque 2 : La série de Fourier peut également s'écrire avec les coefficient $$c_n$$ et son expression est $$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n \, e^{\mathrm{i} nx}$$.
- Remarque 3 : Les diverses hypothèses faites sur la fonction $$f$$ impliquent que la série de Fourier existe bien. Néanmoins sa convergence c'est pas assurée et de plus rien n'assure que la somme associée soit égale à $$f$$.
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 1 - propriétés \,\, des \,\, coefficients \,\, de \,\, Fourier}}}$$
Soit $$f$$ une fonction continue et définie sur $$\mathbb{R}$$ et à valeurs dans $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, $$2\pi$$-périodique et de classe $$C^1$$ par morceaux. On désigne par $$f'$$ la fonction dérivée première associée. On a alors :
$$a_n(f') = n \times b_n(f) \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, b_n(f') = - n \times a_n(f)$$
Puis :
$$c_n(f') = \mathrm{i} \, n \times c_n(f)$$
On déduit de ce théorème que si une fonction $$f$$ est de classe $$C^1$$ par morceaux, ces coefficients de Fourier tendent vers $$0$$ lorsque $$n$$ tend vers l'infini.
$$\looparrowright \,\,$$ Remarque :
Si $$f$$ est $$2\pi$$-périodique et de classe $$C^k$$ alors ses coefficients de Fourier sont des $$o\left( \dfrac{1}{n^k} \right)$$.
En effet, si $$f$$ est $$2\pi$$-périodique et de classe $$C^1$$ alors on a l'intégration ci-dessous :
$$c_n(f') = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f'(x) e^{- \mathrm{i}nx} \, \mathrm{d}x$$
En faisant usage de la méthode de l'intégration par parties, on obtient :
$$c_n(f') = \dfrac{1}{2\pi} \big[ f(x) \, e^{- \mathrm{i}nx} \big]_{0}^{2\pi} - \dfrac{1}{2\pi} (- \mathrm{i}n) \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{- \mathrm{i}nx} \, \mathrm{d}x$$
Soit :
$$c_n(f') = \dfrac{1}{2\pi} \big[ f(x) \, e^{- \mathrm{i}nx} \big]_{0}^{2\pi} + \mathrm{i}n \, c_n(f)$$
Comme $$f$$ est $$2\pi$$-périodique, on en déduit que $$\big[ f(x) \, e^{- \mathrm{i}nx} \big]_{0}^{2\pi} = 0$$. Ainsi :
$$c_n(f') = \mathrm{i}n \, c_n(f)$$
Puis, par récurrence, avec $$k \in \mathbb{N}^\star$$, on obtient directement :
$$c_n(f^{(k)}) = (\mathrm{i}n)^k \, c_n(f)$$
Ce qui implique que :
$$c_n(f) = \dfrac{1}{n^k} \times \dfrac{1}{\mathrm{i}^k} \, c_n(f^{(k)})$$
Or, lorsque $$|n| \longrightarrow + \infty$$ on a $$c_n(f^{(k)}) \longrightarrow 0$$. Ceci permet de conclure que $$c_n(f) = o\left( \dfrac{1}{n^k} \right)$$.
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 2 - premier \,\, théorème \,\, de \,\, Dirichlet}}}$$
Soit $$f$$ une fonction numérique $$2\pi$$-périodique d'une variable réelle et à valeurs réelles ou complexes. Si cette fonction est $$C^1$$ par morceaux alors la série de Fourier est simplement convergente sur $$\mathbb{R}$$ et sa somme est égale, en $$x$$, à la demi-somme des limites à gauche et à droite de $$x$$. Cette demi-somme s'appelle la régularisée de $$f$$ en $$x$$ et se note parfois $$f^\star(x)$$. On a donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\,\, \sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n \, e^{\mathrm{i} nx} = \dfrac{1}{2} \big( f(x^-) + f(x^+) \big) = f^\star(x)$$
Et :
$$\forall n \in \mathbb{Z}, \,\,\, c_n = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) e^{- \mathrm{i} nx} \, \mathrm{d}x$$
Et bien évidemment, on a de manière équivalente :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\,\, \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) = \dfrac{1}{2} \big( f(x^-) + f(x^+) \big)$$
Et :
$$\forall n \in \mathbb{n}, \,\,\, a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos (nx) \, \mathrm{d}x$$
ainsi que
$$\forall n \in \mathbb{n}, \,\,\, b_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin (nx) \, \mathrm{d}x$$
$${\color{red}{ \bf{ 3 - Conditions \,\, de \,\, Dirichlet}}}$$
On dit qu'une fonction $$f$$ définie sur $$\mathbb{R}$$ et à valeur réelles ou complexes vérifie les conditions du mathématicien prusse Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) si les trois conditions suivantes sont satisfaites simultanément :
- la fonction $$f$$ est $$2\pi$$-périodique ;
- la fonction $$f$$ est $$C^0$$ (c'est à dire continue) par morceaux ;
- la valeur de $$f$$ en tout point est égale à la régularisée $$\dfrac{1}{2} \big( f(x^-) + f(x^+) \big)$$.
L'ensemble des fonctions qui vérifient les conditions de Dirichlet est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions numériques univariées définies sur $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$ ; ou celui des fonctions numériques univariées $$2\pi$$-périodique. Cet ensemble se note par $$\mathcal{D}$$.
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 3 - second \,\, théorème \,\, de \,\, Dirichlet}}}$$
La série de Fourier de toute fonction $$f$$ appartenant à l'ensemble $$\mathcal{D}$$ qui est de classe $$C^1$$ par morceaux est, sur $$\mathbb{R}$$, simplement convergente.
$${\color{red}{ \bf{ 4 - L'espace \,\, vectoriel \,\, de \,\, Dirichlet}}}$$
On définit sur l'ensemble $$\mathcal{D}$$ une forme bilinéaire de la manière suivante :
$$< f \, , \, g > = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \overline{f(x)}\times g(x)\, \mathrm{d}x$$
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 4 - ensemble \,\, de \,\, Dirichlet}}}$$
L'ensemble $$\mathcal{D}$$ munie de la forme bilinéaire $$< \, , \, >$$ est un espace pré-hilbertient (complexe)
On désigne par $$(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$$ la famille des éléments de l'ensemble de Dirichlet $$\mathcal{D}$$ qui sont définis par :
$$\forall n \in \mathbb{Z}, \,\, \forall x \in \mathbb{R}, \,\,\, e_n(x) = e^{\mathrm{i} nx}$$
Et on a les deux propriétés suivantes :
- la famille $$(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$$ est une famille orthonormale de l'espace $$(\mathcal{D} \,,\, < \, , \, >)$$ ;
- pour tout nombre entier naturel $$n$$, le coefficient de Fourier $$c_n$$ d'une fonction $$f$$ de $$\mathcal{D}$$ est égal au produit hermitien $$< e_n \, , \, f >$$.
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 5 - convergence \,\, normale}}}$$
Soit $$f$$ une fonction numérique univariée de $$\mathbb{R}$$ dans $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$, $$2\pi$$-périodique, continue sur $$\mathbb{R}$$ et de classe $$C^1$$ par morceaux. Dans ce cas la série de Fourier de la fonction $$f$$ converge normalement, sur $$\mathbb{R}$$, vers $$f$$.
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 6 - inégalité \,\, de \,\, Bessel}}}$$
Si la famille $$(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$$ est une famille orthonormale d'un espace pré-hilbertien $$(\mathcal{E} \,,\, < \, , \, >)$$ quelconque alors, pour $$x \in \mathcal{E}$$ on a l'inégalité, dite de Bessel, suivante :
$$\sum_{n \in \mathbb{N}} \big| \, < x \, , \, e_n > \, \big|^2 \leqslant ||x||^2$$
En appliquant cette inégalité à l'espace $$(\mathcal{D} \,,\, < \, , \, >)$$ aux cas des deux suites $$(a_{n \in \mathbb{N}})$$ et $$(b_{n \in \mathbb{N}})$$ des coefficient de Fourier de $$f \in \mathcal{D}$$ alors les deux séries numériques $$\sum_{n = 0}^{+ \infty} |\, a_n \,|^2$$ et $$\sum_{n = 0}^{+ \infty} |\, a_n \,|^2$$ sont convergentes.
Lorsque l'espace pré-hilbertien est $$(\mathcal{D} \,,\, < \, , \, >)$$ il existe le théorème mathématicien français Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836) qui est plus puissant que l'inégalité de Bessel : ce n'est plus une inégalité mais une égalité.
$${\color{green}{ \bf{Théorème \,\, 7 - formule \,\, de \,\, Parseval}}}$$
Pour toute fonction $$f \in \mathcal{D}$$ on a l'égalité suivante :
$$\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} |\, f(x) \,|^2 \, \mathrm{d}x = 2 \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} |\, c_n \,|^2$$
Et :
$$\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} |\, f(x) \,|^2 \, \mathrm{d}x = \dfrac{|\, a_0 \,|^2}{2} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \big( |\, a_n \,|^2 + |\, b_n \,|^2 \big)$$
$$\looparrowright \,\,$$ Remarque :
Soit $$L$$ un nombre réel strictement positif. Dans le cas des fonctions $$2L$$-périodique on a les définitions suivantes des coefficient de Fourier :
$$a_n = \dfrac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \cos\left( \dfrac{n \pi x}{L} \right) \, \mathrm{d}x$$
$$b_n = \dfrac{1}{L} \int_{0}^{2L} f(x) \sin\left( \dfrac{n \pi x}{L} \right) \, \mathrm{d}x$$
$$c_n = \dfrac{1}{2L} \int_{0}^{2L} f(x) e^{ - \mathrm{i} \frac{n \pi x}{L}} \, \mathrm{d}x$$
On rappelle qu'une fonction numérique univariée $$f$$ définie sur un ensemble $$I \subset \mathbb {R}$$ est déclarée de période $$T \in \mathbb{R}^\star$$, ou $$T$$-périodique, si elle vérifie :
$$\forall x\in \mathcal {I}, \,\, x + T \in \mathcal {I}, \,\,\, f(x+T)=f(x)$$
Lorsqu'une fonction est périodique, son graphe reproduit de façon répétitive n’importe quelle portion particulière de longueur égale à une période : c'est une propriété d'invariance par translation.
La série de Fourier associée à $$f$$, c'est-à-dire le développement trigonométrique ou exponentielle est couramment désigné par $$\mathcal{SF}_f(x)$$.