Une autre opération sur les ensembles - Exercice 1

On constate que $$A \star A = \overline{A \cap A} = \overline{A}$$.
Finalement, on constate que :
$${\color{red}{\boxed{ \overline{A} = A \star A }}}$$

On sait que :
$$A \cap B = \overline{\overline{ A \cap B }}$$
D'après la définition de l'opération $$\star$$, on a donc :
$$A \cap B = \overline{ A \star B }$$
Mais d'après la première question, le complémentaire d'une partie est l'opération $$\star$$ entre cette même partie. Donc :
$$\overline{ A \star B } = (A \star B) \star (A \star B)$$
Finalement, on constate que
$${\color{red}{\boxed{ A \cap B = (A \star B) \star (A \star B) }}}$$

On a :
$$A \cup B = \overline{\overline{ A \cup B }}$$
D'après les lois de $$Morgan$$, on sait que :
$$\overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B}$$
Donc :
$$A \cup B = \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}$$
De plus, d'après la définition de l'opération $$\star$$, on a alors :
$$\overline{\overline{A} \cap \overline{B}} = \overline{A} \star \overline{B}$$
Ainsi, on obtient :
$$A \cup B = \overline{A} \star \overline{B}$$
Cependant, d'après la première question, on sait que $$\overline{A} = A \star A$$ et de fait $$\overline{B} = B \star B$$. Donc on a :
$$\overline{A} \star \overline{B} = ( A \star A ) \star ( B \star B )$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{ A \cup B = ( A \star A ) \star ( B \star B ) }}}$$