Langage de la logique et des ensembles

Une autre opération sur les ensembles - Exercice 1

20 min
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L'opération étoile, notée \star, entre deux ensembles.
Question 1
Soit AA et BB deux parties d'un même ensemble EE.
Définissons l'opération \star entre les deux parties AA et BB par : AB=ABA \star B = \overline{A \cap B}.

Ecrire A\overline{A} en fonction de l'opération \star.

Correction
On constate que AA=AA=AA \star A = \overline{A \cap A} = \overline{A}.
Finalement, on constate que :
A=AA{\color{red}{\boxed{ \overline{A} = A \star A }}}
Question 2

Ecrire ABA \cap B en fonction de l'opération \star.

Correction
On sait que :
AB=ABA \cap B = \overline{\overline{ A \cap B }}
D'après la définition de l'opération \star, on a donc :
AB=ABA \cap B = \overline{ A \star B }
Mais d'après la première question, le complémentaire d'une partie est l'opération \star entre cette même partie. Donc :
AB=(AB)(AB)\overline{ A \star B } = (A \star B) \star (A \star B)
Finalement, on constate que
AB=(AB)(AB){\color{red}{\boxed{ A \cap B = (A \star B) \star (A \star B) }}}
Question 3

Ecrire ABA \cup B en fonction de l'opération \star.

Correction
On a :
AB=ABA \cup B = \overline{\overline{ A \cup B }}
D'après les lois de MorganMorgan, on sait que :
AB=AB\overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B}
Donc :
AB=ABA \cup B = \overline{\overline{A} \cap \overline{B}}
De plus, d'après la définition de l'opération \star, on a alors :
AB=AB\overline{\overline{A} \cap \overline{B}} = \overline{A} \star \overline{B}
Ainsi, on obtient :
AB=ABA \cup B = \overline{A} \star \overline{B}
Cependant, d'après la première question, on sait que A=AA\overline{A} = A \star A et de fait B=BB\overline{B} = B \star B. Donc on a :
AB=(AA)(BB)\overline{A} \star \overline{B} = ( A \star A ) \star ( B \star B )
Finalement :
AB=(AA)(BB){\color{red}{\boxed{ A \cup B = ( A \star A ) \star ( B \star B ) }}}