Signification et négation (2) - Exercice 1

Cette assertion $$\exist a \in \mathbb{R}, \, \forall x \in \mathbb{R}, \, (x \geqslant a) \Longrightarrow \big ( f(x) \times f(a) > 0 \big)$$ signifie que la fonction numérique réelle $$f$$ ne s'annule pas, et est de signe constant, lorsque $$x$$ devient suffisamment grand.
Sa négation est donnée par :
$$\neg \bigg( \exist a \in \mathbb{R}, \, \forall x \in \mathbb{R}, \, (x \geqslant a) \Longrightarrow \big ( f(x) \times f(a) > 0 \big) \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \forall a \in \mathbb{R}, \, \exist x \in \mathbb{R}, \, (x \geqslant a) \wedge \neg\big ( f(x) \times f(a) > 0 \big) \bigg)$$
A savoir :
$$\neg \bigg( \exist a \in \mathbb{R}, \, \forall x \in \mathbb{R}, \, (x \geqslant a) \Longrightarrow \big ( f(x) \times f(a) > 0 \big) \bigg) \Longleftrightarrow \bigg( \forall a \in \mathbb{R}, \, \exist x \in \mathbb{R}, \, (x \geqslant a) \wedge \big ( f(x) \times f(a) \leqslant 0 \big) \bigg)$$
Finalement :
$$\neg \bigg( \exist a \in \mathbb{R}, \, \forall x \in \mathbb{R}, \, (x \geqslant a) \Longrightarrow \big ( f(x) \times f(a) > 0 \big) \bigg) \Longleftrightarrow \big( \forall a \in \mathbb{R}, \, \exist x \in \mathbb{R}, \, x \geqslant a, \, f(x) \times f(a) \leqslant 0 \big)$$

Cette assertion $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big(f(x) = f(y) \big) \Longrightarrow (x=y)$$ signifie que si deux antécédents réels conduisent à la même image alors ces deux antécédents sont en fait les mêmes.
Si on prend la contraposée (suivant l'équivalence $$(P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (\neg Q \Longrightarrow \neg P)$$), cela signifie que l'on a l'assertion équivalente suivante : $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big(x \neq y \big) \Longrightarrow \big( f(x) \neq f(y) \big)$$. Ainsi deux antécédents réels distincts n'ont pas la même image. En Mathématiques, une telle fonction $$f$$ est qualifiée d'$${\color{red}{\bf{injective}}}$$. On dit également que $$f$$ est une $${\color{red}{\bf{injection}}}$$.
Sa négation est donnée par :
$$\neg \big ( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big(f(x) = f(y) \big) \Longrightarrow (x=y) \big) \Longleftrightarrow \big ( \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big(f(x) = f(y) \big) \wedge \neg (x = y) \big)$$
A savoir :
$$\neg \big ( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big(f(x) = f(y) \big) \Longrightarrow (x=y) \big) \Longleftrightarrow \big ( \exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \big(f(x) = f(y) \big) \wedge (x\neq y) \big)$$
Cette négation signifie que, pour cette fonction numérique réelle $$f$$, il est existe au moins deux antécédents réels différents qui admettent la même image.

Cette assertion $$\forall x \in \mathbb{R}, \, \exist(a,b) \in \mathbb{R}^2, \, f(a) < f(x) < f(b)$$ signifie que la fonction $$f$$ n'admet pas d'extremum sur $$\mathbb{R}$$.
Sa négation est donnée par :
$$\neg \big ( \forall x \in \mathbb{R}, \, \exist(a,b) \in \mathbb{R}^2, \, f(a) < f(x) < f(b) \big) \Longleftrightarrow \big ( \exist x \in \mathbb{R}, \, \forall(a,b) \in \mathbb{R}^2, \, f(a) \geqslant f(x) \geqslant f(b) \big)$$