Pour les trois assertions proposées, donner leur sens et ensuite leur négation. On note par (un)n∈N une suite numérique réelle d'élément de rang n+1 noté un.
∃M∈R,∀n∈N,un⩾M
Correction
Cette assertion ∃M∈R,∀n∈N,un⩾M signifie que la suite numérique réelle (un)n∈N est minorée par le réel M. La négation associée est : ¬(∃M∈R,∀n∈N,un⩾M)⟺∀M∈R,∃n∈N,un<M
Question 2
∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(un>0)
Correction
Cette assertion ∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(un>0) signifie que la suite numérique réelle (un)n∈N est strictement positive à partir d'un certain rang N+1. La négation associée est : ¬(∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(un>0))⟺∀N∈R,∀n∈N,(n⩾N)∧¬(un>0) A savoir : ¬(∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(un>0))⟺∀N∈R,∀n∈N,(n⩾N)∧(un⩽0)
Question 3
∀ε>0,∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(∣un∣<ε)
Correction
Cette assertion ∀ε>0,∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(∣un∣<ε) signifie que la suite numérique réelle (un)n∈N converge vers zéro. La négation associée est : ¬(∀ε>0,∃N∈N,∀n∈N,(n⩾N)⟹(∣un∣<ε))⟺∃ε>0∀N∈N,∃n∈N,(n⩾N)∧(∣un∣⩾ε)
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