Langage de la logique et des ensembles

Signification et négation - Exercice 1

20 min
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Pour continuer son apprentissage.
Question 1
Pour les trois assertions proposées, donner leur sens et ensuite leur négation. On note par (un)n∈N\left( u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite numérique réelle d'élément de rang n+1n+1 noté unu_n.

∃M∈R, ∀n∈N, un⩾M\exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \geqslant M

Correction
Cette assertion ∃M∈R, ∀n∈N, un⩾M\exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \geqslant M signifie que la suite numérique réelle (un)n∈N\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}} est minorée par le réel MM.
La négation associée est :
¬(∃M∈R, ∀n∈N, un⩾M)⟺∀M∈R, ∃n∈N, un<M\neg \big( \exist M \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n \geqslant M \big) \Longleftrightarrow \forall M \in \mathbb{R}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, u_n < M
Question 2

∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un>0)\exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n > 0)

Correction
Cette assertion ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un>0)\exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n > 0) signifie que la suite numérique réelle (un)n∈N\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}} est strictement positive à partir d'un certain rang N+1N+1.
La négation associée est :
¬(∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un>0))⟺∀N∈R, ∀n∈N, (n⩾N)∧¬(un>0)\neg \big( \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n > 0) \big) \Longleftrightarrow \forall N \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N)\wedge \neg (u_n > 0)
A savoir :
¬(∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(un>0))⟺∀N∈R, ∀n∈N, (n⩾N)∧(un⩽0)\neg \big( \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (u_n > 0) \big) \Longleftrightarrow \forall N \in \mathbb{R}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N)\wedge (u_n \leqslant 0)
Question 3

∀ε>0, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(∣ un ∣<ε)\forall \varepsilon > 0, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (\vert \, u_n \, \vert < \varepsilon)

Correction
Cette assertion ∀ε>0, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(∣ un ∣<ε)\forall \varepsilon > 0, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (\vert \, u_n \, \vert < \varepsilon) signifie que la suite numérique réelle (un)n∈N\left( u_n \right)_{n\in\mathbb{N}} converge vers zéro.
La négation associée est :
¬(∀ε>0, ∃N∈N, ∀n∈N, (n⩾N)⟹(∣ un ∣<ε))⟺∃ε>0 ∀N∈N, ∃n∈N, (n⩾N)∧(∣ un ∣⩾ε)\neg \big( \forall \varepsilon > 0, \, \exist N \in \mathbb{N}, \, \forall n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \Longrightarrow (\vert \, u_n \, \vert < \varepsilon) \big) \Longleftrightarrow \exist \varepsilon > 0\, \forall N \in \mathbb{N}, \, \exist n \in \mathbb{N}, \, (n \geqslant N) \wedge (\vert \, u_n \, \vert \geqslant \varepsilon)