Raisonnement par récurrence - Exercice 8

Nous allons réaliser cette démonstration par récurrence.
Soit $$n$$ un entier naturel tel que $$n\ge 2$$ ; notons par $$P(n)$$ la propriété associée à la formule suivante :
$$P(n) : 4^n\ge \left( \begin{array}{c}2n \\ n \end{array}\right)$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,Etape \,\, 1 : L'initialisation}}}$$
Soit $$n=2$$, vérifions si la propriété $$P\left(2\right)$$ est bien vérifiée. On a :
D'une part : $$4^2=16$$
D'autre part : $$\left( \begin{array}{c}2\times 2 \\ 2 \end{array}\right)=\frac{4!}{2!\left(4-2\right)!}$$ ce qui donne $$\left( \begin{array}{c}4 \\ 2 \end{array}\right)=6$$
Ainsi $$4^2\ge \left( \begin{array}{c}4 \\ 2 \end{array}\right)$$
Ce qui est indéniablement vrai. Donc la propriété $$P\left(2\right)$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 2 : La \,\, transmission}}}$$
Dans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété $$P(n)$$ est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété $$P(n+1)$$ est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
Nous voulons donc démontrer que $$4^{n+1}\ge \left( \begin{array}{c}2n+2 \\ n+1 \end{array}\right)$$
D'après l'hypothèse de récurrence, on a :
$$4^n\ge \left( \begin{array}{c}2n \\ n \end{array}\right)$$
$$4^n\ge \frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-n\right)!\left(2n-n\right)!}$$
$$4^n\ge \frac{\left(2n\right)!}{n!n!}$$
$$4^n\times \red{\frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}}\ge \frac{\left(2n\right)!}{n!n!}\times \red{\frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}}$$
Or $$\frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}\le 4$$ car $$\frac{2n+1}{n+1}\le \frac{2n+2}{n+1}\le 2$$ et $$\frac{\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)}=2$$
On peut donc écrire que :
$$4\ge \frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}$$ équivaut successivement à :
$$4^n\times 4\ge 4^n\times \frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}$$
$$4^{n+1}\ge 4^n\times \frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}$$
Ainsi :
$$4^{n+1}\ge 4^n\times \frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}\ge \frac{\left(2n\right)!}{n!n!}\times \frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}$$
Donc :
$$4^{n+1}\ge \frac{\left(2n\right)!}{n!n!}\times \frac{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}$$
$$4^{n+1}\ge \frac{\left(2n\right)!\times \left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}{\left(n!\times \left(n+1\right)\right)\left(n!\times \left(n+1\right)\right)}$$
$$4^{n+1}\ge \frac{\left(2n+2\right)!}{\left(n+1\right)!\left(n+1\right)!}$$
Finalement :
On constate alors que la propriété $$P({\color{blue}{n+1}})$$ est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 3 : La \,\, conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence la propriété $$P(n) : \sum^{2n-1}_{k=0}{\frac{{\left(-1\right)}^k}{k+1}}=\sum^{2n}_{k=n+1}{\frac{1}{k}}$$ est vraie pour tout entier naturel $$n \ge2$$. $${\color{red}{\blacksquare}}$$