Soit
n un entier naturel non nul.
Notons par
P(n) la propriété associée à la formule suivante :
k=0∑2n−1k+1(−1)k=k=n+1∑2nk1 ▶Etape1:L′initialisationSoit
n=1, on a :
D'une part : k=0∑2×1−1k+1(−1)k=k=0∑1k+1(−1)k =1−21=21 D'autre part : k=1+1∑2×1k1=k=2∑2k1=21 ▶▶Etape2:LatransmissionDans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété
P(n) est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété
P(n+1) est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que
P(n)⟹P(n+1).
Nous voulons donc démontrer que
k=0∑2×(n+1)−1k+1(−1)k=k=n+1+1∑2×(n+1)k1 autrement dit
k=0∑2n+1k+1(−1)k=k=n+2∑2n+2k1Nous avons déterminer l'expression de
P(n+1), et vérifions sa vérité. On a alors :
k=0∑2n+1k+1(−1)k=k=0∑2n−1k+1(−1)k+2n+11−2n+21 . D'après l'hypothèse de récurrence, on a :
k=0∑2n−1k+1(−1)k=k=n+1∑2nk1=k=n+1∑2nk1+2n+11−2n+21 =((k=n+2∑2nk1)+n+11)+2n+11−2n+21=((k=n+2∑2nk1)+2n+11)+n+11−2n+21 =k=n+2∑2n+1k1+n+11−2n+21 =k=n+2∑2n+1k1+2(n+1)2−2n+21 =k=n+2∑2n+1k1+2n+22−2n+21=k=n+2∑2n+1k1+2n+21 =k=n+2∑2n+1k1+2(n+1)1 =k=n+2∑2n+2k1 On constate alors que la propriété
P(n+1) est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que
P(n)⟹P(n+1).
▶▶▶Etape3:LaconclusionEn vertu des axiomes de la récurrence la propriété
P(n):k=0∑2n−1k+1(−1)k=k=n+1∑2nk1 est vraie pour tout entier naturel
n=0.
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