Raisonnement par récurrence - Exercice 6

On sait que :
$$\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)^2 \geqslant 0$$
Soit :
$$\sqrt{a}^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}^2 \geqslant 0$$
Soit encore :
$$\sqrt{a}^2 - 2\sqrt{ab} + \sqrt{b}^2 \geqslant 0$$
D'où :
$$a - 2\sqrt{ab} + b \geqslant 0$$
Ainsi :
$$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$$
Et finalement :
$${\color{red}{\boxed{\dfrac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}}}}$$

Nous allons réaliser cette démonstration par récurrence.
Notons par $$P(n)$$ la propriété associée à la formule suivante :
$$P(n) : \left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} \right) \geqslant n^2$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,Etape \,\, 1 : L'initialisation}}}$$
Soit $$n=1$$, vérifions si la propriété $$P(1)$$ est bien vérifiée. On a :
$$P(1) : \left( x_1 \right) \left( \dfrac{1}{x_1} \right) \geqslant 1^2$$
Soit :
$$P(1) : x_1 \times \dfrac{1}{x_1} \geqslant 1$$
Ainsi :
$$P(1) : \dfrac{x_1}{x_1} \geqslant 1$$
Soit encore, puisque $$x_1 \neq 0$$ :
$$P(1) : 1 \geqslant 1$$
Ce qui est indéniablement vrai. Donc la propriété $$P(1)$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 2 : La \,\, transmission}}}$$
Dans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété $$P(n)$$ est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété $$P(n+1)$$ est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
Ainsi, supposons que nous ayons bien la relation $$\left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} \right) \geqslant n^2$$.
Commençons par adopter les écritures simplificatrices suivantes : $$A = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$$ et $$B = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}$$.
Dans ce cas, déterminons l'expression de $$P(n+1)$$ et sa vérité. Donc :
$$\left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} + \dfrac{1}{x_{n+1}} \right) = \left( A + x_{n+1} \right) \left( B + \dfrac{1}{x_{n+1}} \right)$$
Soit :
$$\left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} + \dfrac{1}{x_{n+1}} \right) = AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + \dfrac{x_{n+1}}{x_{n+1}}$$
D'où :
$$\left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} + \dfrac{1}{x_{n+1}} \right) = AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1$$
Comme la propriété $$P(n)$$ est supposée vraie, on a alors $$AB \geqslant n^2$$. Donc :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant n^2 + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1$$
D'où :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant n^2 + 2\dfrac{\dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}}}{2} + 1$$
Soit en faisant usage de la première question avec $$a = \dfrac{A}{x_{n+1}}$$ et $$b = B{x_{n+1}}$$, on trouve donc que :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant n^2 + 2\dfrac{\dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}}}{2} + 1 \geqslant n^2 + 2\sqrt{\dfrac{A}{x_{n+1}}\times B{x_{n+1}}} + 1$$
En simplifiant dans la racine carrée :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant n^2 + 2\dfrac{\dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}}}{2} + 1 \geqslant n^2 + 2\sqrt{AB} + 1$$
Comme la propriété $$P(n)$$ est supposée vraie, on a alors $$AB \geqslant n^2$$, et donc $$\sqrt{AB} \geqslant n$$. Ainsi, on peut écrire que :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant n^2 + 2\dfrac{\dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}}}{2} + 1 \geqslant n^2 + 2\sqrt{AB} + 1 \geqslant n^2 + 2n + 1$$
Le trinôme $$n^2 + 2n + 1$$ se factorise directement en $$(n+1)^2$$. Donc :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant n^2 + 2\dfrac{\dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}}}{2} + 1 \geqslant n^2 + 2\sqrt{AB} + 1 \geqslant (n+1)^2$$
Soit :
$$AB + \dfrac{A}{x_{n+1}} + B{x_{n+1}} + 1 \geqslant (n+1)^2$$
Ceci peut également s'écrire sous la forme suivante :
$$\left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{\color{blue}{n+1}} \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} + \dfrac{1}{x_{\color{blue}{n+1}}} \right) \geqslant ({\color{blue}{n+1}})^2$$
On constate alors que la propriété $$P({\color{blue}{n+1}})$$ est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 3 : La \,\, conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, la propriété $$P(n) : \left( x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right) \left( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} \right) \geqslant n^2$$ est vraie pour tout entier naturel $$n \neq 0$$. $${\color{red}{\blacksquare}}$$