Raisonnement par récurrence - Exercice 5

Nous allons réaliser cette démonstration par récurrence.
Notons par $$P(n)$$ la propriété associée à la formule suivante :
$$P(n) : 1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \geqslant \big( (n+1)! \big)^{n+1}$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,Etape \,\, 1 : L'initialisation}}}$$
Soit $$n=0$$, vérifions si la propriété $$P(0)$$ est bien vérifiée. On a :
$$P(0) : 1! \geqslant \big( (0+1)! \big)^{0+1}$$
Soit :
$$P(0) : 1 \geqslant \big( 1! \big)^{1}$$
Soit encore :
$$P(0) : 1 = 1$$
Ce qui est indéniablement vrai. Donc la propriété $$P(0)$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 2 : La \,\, transmission}}}$$
Dans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété $$P(n)$$ est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété $$P(n+1)$$ est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
Ainsi, supposons que nous ayons bien la relation $$1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \geqslant \big( (n+1)! \big)^{n+1}$$. Dans ce cas, déterminons l'expression de $$P({\color{blue}{n+1}})$$ et sa vérité. On a :
$$1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \times \big(2({\color{blue}{n+1}})+1\big)! = 1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \times \big(2n+3\big)!$$
Comme la propriété $$P(n)$$ est supposée vraie, on a alors :
$$1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \times \big(2({\color{blue}{n+1}})+1\big)! \geqslant \big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!$$
Il nous faut maintenant démontrer que $$\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!$$ est supérieur ou égal à $$\big( ((n+1)+1)! \big)^{(n+1)+1}$$. Or, on constate sans difficulté que $$\big( ((n+1)+1)! \big)^{(n+1)+1} = \big( (n+2)! \big)^{n+2}$$.
Pour effectuer la comparaison entre $$\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!$$ et $$\big( (n+2)! \big)^{n+2}$$ nous allons étudier leur quotient. Si on arrive à montrer que $$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} \geqslant 1$$ alors nous pourrons conclure sur la vérité de $$P(n+1)$$.
On a alors :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2) \times (n+1)! \big)^{n+2}} = \dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{(n+2)^{n+2} \big( (n+1)! \big)^{n+2}}$$
Soit encore :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{(n+2)^{n+2} \big( (n+1)! \big)^{n+1}(n+1)!}$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \dfrac{(2n+3)!}{(n+2)^{n+2} (n+1)!} = \dfrac{1}{(n+2)^{n+2} } \times \dfrac{(2n+3)!}{(n+1)!}$$
Soit encore :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \dfrac{1}{(n+2)^{n+2} } \times \big((2n+3) \times (2n+2) \times (2n+1) \times \cdots \times (n+2)\big)$$
Au numérateur, on a l'expression $$(2n+3) \times (2n+2) \times (2n+1) \times \cdots \times (n+2)$$ qui contient $$(2n+3) - (n+2) + 1$$ termes, c'est-à-dire $$n+2$$ termes. On constate alors qu'il y a autant de termes au numérateur qu'au dénominateur. Nous allons donc écrire :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \underbrace{ \dfrac{2n+3}{n+2} \times \dfrac{2n+2}{n+2} \times \dfrac{2n+1}{n+2} \times \cdots \times \dfrac{n+3}{n+2} \times \dfrac{n+2}{n+2} }_{n+2 \,\, \mathrm{termes}}$$
Ce qui s'écrit aussi :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \dfrac{2n+3}{n+2} \times \dfrac{2n+2}{n+2} \times \dfrac{2n+1}{n+2} \times \cdots \times \dfrac{n+3}{n+2} \times 1$$
Soit
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} = \underbrace{ \dfrac{2n+3}{n+2} \times \dfrac{2n+2}{n+2} \times \cdots \times \dfrac{n+3}{n+2} }_{n+1 \,\, \mathrm{termes}}$$
On constate que ces $$n+1$$ termes sont des quotients, tous supérieur à un. Donc le produit de ces $$n+1$$ qutients supérieur à $$1$$ engendre une expression elle même supérieure à $$1$$. On aboutit donc à :
$$\dfrac{\big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)!}{\big( (n+2)! \big)^{n+2}} \geqslant 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)! \geqslant \big( (n+2)! \big)^{n+2}$$
Donc, on peut alors écrire que :
$$1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \times \big(2({\color{blue}{n+1}})+1\big)! \geqslant \big( (n+1)! \big)^{n+1} \times \big(2n+3\big)! \geqslant \big( (n+2)! \big)^{n+2}$$
De fait, on peut donc écrire que :
$$1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \times \big(2({\color{blue}{n+1}})+1\big)! \geqslant \big( (n+2)! \big)^{n+2}$$
Qui peut également s'écrire sous la forme :
$$1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \times \big(2({\color{blue}{n+1}})+1\big)! \geqslant \bigg( \big(({\color{blue}{n+1}})+1 \big)! \bigg)^{{\color{blue}{n+1}}+1}$$
On constate alors que la propriété $$P(n+1)$$ est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 3 : La \,\, conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, la propriété $$P(n) : 1! \times 3! \times \cdots \times (2n+1)! \geqslant \big( (n+1)! \big)^{n+1}$$ est vraie pour tout entier naturel $$n$$. $${\color{red}{\blacksquare}}$$