Raisonnement par récurrence - Exercice 3

Nous allons réaliser cette démonstration par récurrence.
Soit $$n$$ un nombre entier naturel quelconque. Notons par $$P(n)$$ la propriété suivante :
$$P(n) : (1+x)^n \geqslant 1+nx$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,Etape \,\, 1 : L'initialisation}}}$$
Soit $$n=0$$, vérifions si la propriété $$P(0)$$ est bien vérifiée. On a :
$$P(0) : (1+x)^0\geqslant 1+n\times 0$$
Soit :
$$P(0) : 1 = 1$$
Ce qui est indéniablement vrai. Donc la propriété $$P(0)$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 2 : La \,\, transmission}}}$$
Dans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété $$P(n)$$ est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété $$P(n+1)$$ est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
Ainsi, supposons que nous ayons bien la relation $$(1+x)^n \geqslant 1+nx$$. Dans ce cas, déterminons l'expression de $$P(n+1)$$. On a :
$$(1+x)^{n+1} = (1+x) \times (1+n)^n$$
Comme la propriété $$P(n)$$ est supposée vraie, on a alors :
$$(1+x)^{n+1} \geqslant (1+x) \times (1+nx)$$
En développant, on obtient :
$$(1+x)^{n+1} \geqslant 1+nx + x + nx^2$$
En factorisant :
$$(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x + nx^2$$
Or, $$n \geqslant 0$$ et $$x > 0$$, donc $$nx^2 \geqslant 0$$. De fait $$1+(n+1)x + nx^2 \geqslant 1+(n+1)x$$. On a donc automatiquement :
$$(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x$$
On constate alors que la propriété $$P(n+1)$$ est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 3 : La \,\, conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, la propriété $$P(n) : (1+x)^n \geqslant 1+nx$$ est vraie pour tout entier naturel $$n$$. $${\color{red}{\blacksquare}}$$