Premiers éléments sur le langage des ensembles - Exercice 1

Commençons par remarquer (relation $$6 -$$ de la section Réunion des rappels de cours) que $$B = B \cup (A \cap B)$$. Donc, d'après les hypothèses de la question proposée, on a donc $$B = B \cup (A \cap C)$$.
En appliquant la distributivité, on peut donc développer selon :
$$B = (B \cup A) \cap (B \cup C)$$
Soit :
$$B = (A \cup B) \cap (B \cup C)$$
Puis, d'après les hypothèses de la question proposée, on a donc :
$$B = (A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup C = C \cup (A \cap B)$$
Mais par hypothèse on a $$A \cap B = A \cap C$$. D'où :
$$B = C \cup (A \cap C)$$
Or, on de même que la relation utilisée en tout début de cette question : $$C = C \cup (A \cap C)$$.
Finalement, on a donc montré que :
$${\color{red}{\boxed{ B = C}}}$$

Dans les rappels de cours, on peut-y lire :
Le lien avec la réunion et l'union est donné par la relation importante suivante : $${\color{red}{ \boxed{ A \cup B = (A∖B) \cup (A \cap B) \cup (B∖A) }}}$$
Donc, selon l'hypothèse de cette question, on a :
$$A \cap B = (A∖B) \cup (A \cap B) \cup (B∖A)$$
Soit :
$$\emptyset = (A∖B) \cup (B∖A)$$
Ce qui nous permet d'affirmer que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A∖B & = & \emptyset \\ B∖A & = & \emptyset \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & \subset & B \\ B & \subset & A \\ \end{array} \right.$$
Finalement, on a bien démontrer que :
$${\color{red}{\boxed{ A = B}}}$$

On sait que :
$$A \cup B = (A∖B) \cup (A \cap B) \cup (B∖A)$$
De plus, on sait que $$(A \cap B) \cup (B∖A) = B$$
Donc, on obtient :
$$A \cup B = (A∖B) \cup B$$
Mais, par hypothèse, on sait que $$A \cup B = B$$. Donc, on peut donc écrire que :
$$B = (A∖B) \cup B$$
Ainsi :
$$(A∖B) = \emptyset$$
Mais, on sait également que $$\big( A∖B = \emptyset \big) \Longleftrightarrow \big( A \subset B \big)$$. Finalement, on a bien démontrer que :
$${\color{red}{\boxed{ \big(A \subset B \big) \Longleftrightarrow \big( A \cup B = B \big) }}}$$